Sur certains développements d'une fonction holomorphe. (Q1450495)

Es sei \(\Re\nu > 0\), ferner sei weder \(\nu\) ganz noch \(\nu\pm\varrho\) negativ ganz. Ist \(f (x)\) in 0 analytisch, so werden Entwicklungen von \(f (x)\) betrachtet, die nach den Funktionen \(\varPhi_{\nu+n}(nx)\) bzw. \(\varPsi_{\nu+n}(nx)\) fortschreiten (\(n = 0\), 1, 2, \(\ldots\)). Dabei bedeuten \[ \begin{aligned} &\varPhi_\nu(x) = \frac2\pi \int\limits_0^{\frac\pi2} e^{-x\cos\varphi}(x \cos \varphi)^{\nu-1} \cos(\varrho\varphi)\, d\varphi, \\ &\varPsi_\nu(x) = 2 \int\limits_0^{\frac\pi2} e^{-x \sin 2\psi} (x \sin 2 \psi)^\nu (\mathop{\text{ctg}}\nolimits \psi)^\varrho\,d\psi. \end{aligned} \] Behauptet wird die gemeinsame Konvergenz beider Entwicklungen im Innern einer geeigneten Kurve \(| xe^{-x} | = r\) mit \(r \leqq\dfrac1e\).