Sur un développement des fonctions analytiques partout continues en série des intégrales doubles de Lebesgue. (Q1450496)

In der Ebene \(E\) der komplexen Variablen \(z\) betrachte man eine perfekte Menge \(M\) ohne inneren Punkt, derart, daß \(E - M\) ein Gebiet ist. \(f (z)\) sei eine analytische Funktion, die außerhalb von \(M\) analytisch, in der ganzen Ebene stetig ist, und die im Unendlichen verschwindet. Verf. beweist dann für jede Menge \(M\), bei der jede Teilmenge positives Maß hat, folgenden Satz: Für jede Funktion \(f(z)\) kann man eine Folge von Funktionen \(\varphi_1(\zeta)\), \(\varphi_2(\zeta)\), \(\ldots\), \(\varphi_n(\zeta)\), \(\ldots\) derart konstruieren, daß \(|\varphi_n(\zeta)|\) auf \(M\) beschränkt ist, und daß die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty\iint\limits_M \frac{\varphi_n(\zeta)\, d\omega}{\zeta-z} \] konvergent ist und in jedem Punkte \(z\) von \(E - M\) den Summenwert \(f(z)\) hat, wobei die Konvergenz in jedem abgeschlossenen Gebiete innerhalb von \(E - M\) gleichmäßig ist. Ein weitergehender Satz wird für den Fall bewiesen, daß das Maß von \(M\) oder einer Teilmenge davon Null ist, oder daß die Funktion unstetig ist oder auf \(M\) unendlich wird.