Über gewisse Minimumprobleme der Funktionentheorie. (Q1450508)

Die Problemstellung dieser Arbeit gehört einem Kreise an, der schon früher vom Verf. zusammen mit \textit{Carathéodory} behandelt wurde (1911; F. d. M. 42, 430 (JFM 42.0430.*)). Damals wurde die Frage beantwortet: Welches ist der kleinste Wert für \(\text{Max\,}|f(z)|\) unter allen im Einheitskreise regulären \(f(z)\) deren \(n+1\) erste \textit{Taylor}koeffizienten bei \(z=0\), \(c_0,c_1,\ldots,c_n\), vorgegeben sind. Das Resultat wird in der Einleitung in einer durch spätere Untersuchungen von \textit{I. Schur} (1917, 1918; F. d. M. 46, 476 (JFM 46.0476.*)) ermöglichten Formulierung mitgeteilt und es wird auf eine auf \textit{O. Szász} (1918; F. d. M. 46, 479 (JFM 46.0479.*)) zurückgehende knappste Anordnung des Beweises der erhaltenen Abschätzung hingewiesen. In \S \ 1 wird dann, unabhängig von der allgemeinen Theorie, ein spezieller Fall behandelt, nämlich der, daß die vorgegebenen Koeffizienten reell sind und den Bedingungen genügen \[ 0<c_0\leqq c_1\leqq \cdots \leqq c_n. \] In diesem Fall ist auch die Aufstellung der Schrankenfunktion für die gewonnene Abschätzung auf ganz elementarem Wege möglich. Von dem Resultat wird eine Anwendung gemacht, nämlich auf die Abschätzung der Koeffizientensumme einer in \(|z|<1\) konvergenten Potenzreihe \(f(z)=a_0 + a_1z+ \cdots \), die die zum Einheitskreis konzentrischen Kreise auf Kurven beschränkter Länge \(L\) abbildet. Es ergibt sich \(\displaystyle \Bigl|\sum_{\nu =1}^na_\nu \Bigr|\leqq \frac {1}{2}L\) (\(n=1,2,\ldots \)), wobei \(\dfrac {1}{2}\) durch keine kleinere Zahl ersetzt werden kann. Der Kern des Beweises besteht darin, daß eine zunächst ganz rohe Abschätzung, in der ein gewisses Polynom \(c_0 + c_1z+ \cdots +c_nz^n\) eine Rolle spielt, dadurch zu einer genauen gemacht wird, daß das Polynom zu einer unendlichen Reihe \(\varphi (z)\) mit möglichst kleinem \(\text{Max\,}|\varphi (z)|\) erweitert wird. -- Es folgt noch eine ähnliche Anwendung. Dann wird die Frage erörtert, wann das Minimum von \(\text{Max\,}|f(z)|\) am größten wird, wenn nur \(|c_0|=\varrho _0,\ldots \), \(|c_n|=\varrho _n\), vorgegeben ist. Es zeigt sich, daß das für \(c_0=\varrho _0,\ldots \), \(c_n=\varrho _n\) eintritt. Als Anwendung dieser Tatsache folgt dann: Es ist \(\displaystyle \sum_{\nu =1}^\infty |a_\nu |\leqq \frac {1}{2}L\), wenn \(\displaystyle \sum_{\nu =0}^\infty a_\nu z^\nu \) eine im Einheitskreise konvergente Potenzreihe ist, für die die Bogenlänge der Kreisbilder \(\leqq L\). Die Konvergenz von \(\sum |a_\nu |\) hatten schon \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} erkannt (1926; F. d. M. 52, 266 (JFM 52.0266.*)). Hier wird nun die scharfe Schranke dieser Summe gegeben.