On the orthogonal functions and a new formula of interpolation. (Q1450516)

Verf. behandelt folgendes Problem : Gesucht ist eine im Innern des Einheitskreises reguläre Funktion \(f(z)\), die in einer vorge\-gebenen Punktfolge \(\alpha _i\) \((i = 1, 2,\ldots )\) vorgegebene Werte \(k_i\) annimmt, und für die \[ \frac {1}{2\pi }\int \limits _{|z|=1} |f(z)|^2|\,dz|<M,\tag{\(^*\)} \] wo \(M\) eine gegebene Konstante ist. Es werden die Bedingung für die Existenz und die für die Einzigkeit der Lösung angegeben; letztere ist die Divergenz von \(\sum (1-|\alpha _\nu |)\). Falls diese erfüllt ist, bilden die Funktionen \[ \varphi _\nu (z)=\frac {1}{1-\overline \alpha _\nu z} \] ein abgeschlossenes System, wenn das innere Produkt zweier Funktionen nach \textit{Szegö} erklärt wird (vgl. die im vorstehenden Referat zitierte Arbeit). Die Lösung erscheint dann in Gestalt einer Reihe, die nach den durch Orthogonalisierung dieses Systems entstehenden Funktionen fortschreitet und die analog zur \textit{Newton}schen Interpolations reihe gebaut ist. Ist \(\sum (1-|\alpha _\nu |)\) konvergent, so stellt diese Reihe immer noch eine Lösung dar, und zwar die, die (\(^*\)) zu einem Minimum macht.