Mathematical notes II: On a theorem of Kolmogoroff. (Q1450524)

Kolmogoroff hat folgenden Satz rein mit Hilfsmitteln der reellen Analysis bewiesen (1925; F. d. M. 51, 216 (JFM 51.0216.*)): Ist \(f(\theta )\) in \((-\pi,\pi )\)) summierbar gegeben, \(g(\theta )\) ihre Konjugierte und \(0 < \lambda < 1\), so ist \[ \Biggl( \frac {1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi } |g|^\lambda \,d\vartheta \Biggr) ^\dfrac {1}{\lambda }\leqq A_\lambda \quad \text{mit \;} I=\frac {1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi } f|\,d\vartheta, \] wo \(A_\lambda \) nur von \(\lambda \) abhangt. Verf. gibt hier einen Beweis auf funktionentheoretischer Grundlage. Es genügt, den Satz für nicht negatives \(f\) zu beweisen. Ist unter dieser Voraussetzung \(\varPhi (z)\) diejenige in \(|z|<1\) (\(z= \varrho e^{i\theta }\)) analytische Funktion, deren Realteil die Randwerte \(f(\theta )\) hat, so folgt aus der in F. d. M. 51, 247 (JFM 51.0247.*)-248 erwähnten Ungleichung (L) des Verf., in der man \(f^*=\varPhi \), \(f=\varPhi (0)\dfrac {1+z}{1-z}\) setzt: \[ \Biggl( \frac {1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi } |(\varPhi (re^{i\theta })|^\lambda \,d\vartheta \Biggr\} ^\dfrac {1}{\lambda } \leqq A_\lambda I, \] und hieraus folgt durch Grenzübergang \(r\to 1\) nach einer \textit{Fatou}schen Ungleichung \[ \Biggl( \frac {1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi } |f-ig|^\lambda \,d\vartheta \Biggr) ^\dfrac {1}{\lambda }\leqq A_\lambda I, \] also um so mehr die Behauptung.