La conception actuelle de la théorie des fonctions entières et méromorphes. (Q1450527)

Eine Grenzrevision der Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen, Im ersten Teil werden zwei heuristische Prinzipien formuliert und durch Beispiele beleuchtet. Das eine läßt sich so aussprechen: ``Nihil est in infinito quod non prius fuerit in finito'', das andere ist ``das Prinzip der topologischen Kontinuität'', das aussagt, daß ein Satz richtig bleibt, wenn die Voraussetzungen nur metrisch, nicht topologisch abgeändert werden. Ein Beispiel für letzteres Prinzip ist die Zurückführung der Unmöglichkeit der Uniformisierung einer \textit{beliebigen} algebraischen Kurve vom Geschlecht \(p>1\) durch meromorphe Funktionen auf dieselbe Tatsache bei einer hyperelliptischen Kurve. Im zweiten Teil wird die Frage erörtert, auf welche Weise wohl die Theorie vervollkommnet werden kann. Es bieten sich zwei Wege dar: der eine führt über scharfe Ungleichungen für in einem endlichen Kreise reguläre oder meromorphe Funktionen (so wird der \textit{Picard}sche Satz als Korrolar zum \textit{Landau}schen gewonnen). Der andere besteht darin, die ganzen und meromorphen Funktionen durch Polynome und rationale Funktionen zu approximieren. Daß sich die in der \textit{Nevanlinna}schen Theorie üblichen Methoden so ausbauen lassen, daß die letzte Schärfe erreicht wird, hält Verf. nicht für wahrscheinlich. In diesem Zusammenhang wird auch auf die Möglichkeit hingewiesen, den Flächeninhalt des Bildbereiches auf der Zahlenkugel zur Charakterisierung einer meromorphen Funktion heranzuziehen, der ja inzwischen weiter verfolgt worden ist (s. z. B. \textit{Shimizu, Ahlfors}; 1929, 1930; JFM 55.0196.*, 197; 56\(_{\text{I}}\), 278). Dann wird der zweite, oben genannte Weg etwas näher untersucht, insbesondere vom Standpunkt der Theorie der \textit{Riemann}schen Flächen aus. Auch in dieser Richtung ist ja die Entwicklung inzwischen beträchtlich fortgeschritten (s. z. B. R. Nevanlinna 1930; JFM 56.0277.*, 278).