Aufgabe 25. Zum Begriff der Ordnung einer ganzen Funktion. (Gestellt in Jahresbericht D. M. V. 34, 97 kursiv.) Lösung von G. Szegö. (Q1450533)

Die Ordnung einer ganzen Funktion \(f(z)\) wird hier gemessen durch den Mindestgrad eines Polynoms, das \(f(z)\) auf \(|z| = r\) im Mittel in gewisser Güte approximiert. Genau gesagt: Ist \(k\) der Grad des Polynoms \(P(z)\) niedrigsten Grades, für welches \[ \dfrac1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(re^{i\varphi}) - P(re^{i\varphi})|^2 d\varphi < \dfrac{\alpha^2}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(re^{i\varphi})|^2 d\varphi \quad (0 < \alpha < 1) \] gilt, so ist die Ordnung von \(f(z)\) \[ \varrho = \overline{\lim\limits_{\alpha\to0}} \dfrac{k\log k}{\log\dfrac1\alpha} = \overline{\lim\limits_{r\to\infty}} \dfrac{\log k}{\log r}, \] wo der erste \(\overline\lim\) bei festem \(r\), der zweite bei festem \(\alpha\) zu bilden ist.