On an integral function of an integral function. (Q1450537)

Verf. beweist den Satz: Sind \(g(z)\) und \(h(z)\) ganze Funktionen, und ist \(g(h(z))\) eine ganze Funktion endlicher Ordnung, so sind nur zwei Fälle möglich: entweder ist die innere Funktion \(h(z)\) ein Polynom und die äußere Funktion \(g(z)\) ist von endlicher Ordnung; oder die innere Funktion \(h(z)\) ist zwar kein Polynom, aber von endlicher Ordnung, und die äußere Funktion \(g(z)\) ist von der Ordnung Null. Die Wurzel des Beweises ist ein Satz von \textit{H. Bohr} (1923; F. d. M. 49, 711 (JFM 49.0711.*)), der es erlaubt, bei bekanntem \(H(r) = \max\limits_{|z|=r} |h(z)|\) eine untere Schranke \(s(r) = cH(\frac12 r)\) mit von \(g, h\) und \(r\) unabhängigem \(c\) für den Radius \(R\) einer vom Wertevorrat von \(h(z)\) in \(|z| \leqq r\) ganz bedeckten Kreislinie \(|w| = R\) anzugeben; dadurch wird es möglich, \(F(r) = \max\limits_{|z|=r} |f(z)|\) mittels \(G(r) = \max\limits_{|z|=r} |g(z)|\) und \(H(r)\) nach unten abzuschätzen (die Abschätzung nach oben ist trivial.)