On certain sequences of polynomials. (Q1450544)

Es sei \(\{P_n (z)\}\) eine Polynomfolge mit \(|P_n (z)| < Ae^{B|z|}\) für alle \(z\) und \(n\) (\(A\) und \(B\) feste positive Zahlen). Es sei \(p(\varphi)\) so gewählt, daß \(P_n(re^{i\varphi})e^{-[p(\varphi)+\varepsilon]r}\) für alle \(n\) und \(r\) und für jedes feste \(\varepsilon > 0\) beschränkt ist, ohne diese Eigenschaft für irgend ein \(\varepsilon < 0\) zu haben. Die Funktion \(p (\varphi)\) hat die Periode \(2\pi\) und ist die Stützfunktion eines beschränkten konvexen Gebietes. Wenn \(P_n(z)=\biggl (1-\dfrac{z}{n}\biggr)^n\) ist, so wird \(P\) dasjenige Gebiet der \(s\)-Ebene, wo die Reihe \[ 1+ z\sum _{n=1}^\infty\dfrac{(z-n)^{n-1}}{n!}s^ne^{ns} \] für jedes \(z\) nach \(e^{sz}\) konvergiert. Dieselbe Stützfunktion tritt in einer Interpolationsaufgabe von \textit{Halphen} (Oeuvres Bd. 2, Paris 1918, p. 520) auf. Es sei \(F(z)\) eine ganze Funktion, \(H_n(z)\) das Polynom vom Grade \(\leqq n\), das durch die Bedingungen \(H_n^{(\nu)}(\nu)=F^{(\nu)}(\nu)\) \((\nu = 0,1,\ldots,n)\), festgelegt wird. Dafür, daß lim \(H_n(z)=F(z)\) ist, ist notwendig, daß \(F(re^{i\varphi}) = o(r^2e^{rp(\varphi)})\) ist, und hinreichend, daß \(F(re^{i\varphi}) = o(r^{-1-\alpha }e^{rp(\varphi)})\) für irgend ein festes \(\alpha > 0\) und zwar gleichmäßig in \(\varphi\) ist.