Sur le theoréme de Picard. (Q1450548)
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scientific article; zbMATH DE number 2586523
| Language | Label | Description | Also known as |
|---|---|---|---|
| English | Sur le theoréme de Picard. |
scientific article; zbMATH DE number 2586523 |
Statements
Sur le theoréme de Picard. (English)
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1926
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Auf Grund des \textit{Landau}schen Satzes und mit Benutzung einer von \textit{Carleman} herrührenden Ungleichung wird für meromorphe Funktionen, die einen asymptotischen Wert besitzen, die Existenz von cercles de remplissage nachgewiesen. Nach einleitenden Sätzen und Ungleichungen wird folgendes gezeigt: Es gibt für die meromorphe Funktion \(\zeta = f (z)\) mit dem asymptotischen Wert Null unendlich viele Kreise \(C(r_1), \ldots, C(r_n), \ldots \) mit Mittelpunkten \(r_1,\ldots, r_n, \ldots \) (\(r_n\to \infty\) für \(n\to \infty\)), innerhalb derer \(f(z)\) sehr ausgedehnte Gebiete der \(\zeta\)-Ebene ausfüllt. Präziser: \(\varphi(r)\) sei \(> 0, \varphi (r) =\varepsilon \biggl(\dfrac1r\biggr)\) und \(\varphi (r) > |f(z)|\), wenn \(z\) der Punkt des asymptotischen Weges mit \(|z| = r\) ist. Ferner seien \(R, R', \varrho\) mit \(r\) folgendermaßen verknüpft: \(\sqrt{RR'} = r, e^{-12\tfrac{R}{R'-R}}\geqq 1-\varrho \geqq \dfrac{\varkappa_1} {\sqrt{-\log \varphi (r)}}\), wobei \(\varkappa_1\) und \(\varkappa_2\) später Konstanten sind; dann gilt: 1. \(C(r)\) liegt zwischen \(R\) und \(R'\). 2. Sein Radius ist \(2(R'- R) \sqrt{1-\varrho} \;e^{\tfrac{5R}{R'-R}}\) 3. \(f(z)\) nimmt in \(C(r)\) nur solche Werte nicht an, die entweder in zwei kleinen Kreisen der \(\zeta\)-Ebene mit Radius \(\mu = e^{-\varkappa_2(1-\varrho)\log \tfrac{1}{\varphi (r)}}\) liegen, und welche vom Nullpunkte eine Entfernung \(< \dfrac1\mu\) besitzen, oder innerhalb eines dieser Kreise und außerhalb von \(|z| = \dfrac{1}{\mu}\). Aus diesem Satze kann der \textit{Julia}sche Satz leicht gefolgert werden. Zum Schluß werden Sätze über die Anzahl der Wurzeln von \(f(z) - a = 0\) in einem \(C(r)\) angegeben.
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