Sur une propriété des fonctions méromorphes d'ordre positif. (Q1450550)

Auf dem Boden der \textit{Nevanlinna}schen Theorie (1925; F. d. M. 51, 254 (JFM 51.0254.*); s. dort auch die Erklärung der Bezeichnungen) gibt Verf. hier die Ausdehnung eines von ihm früher für ganze Funktionen bewiesenen Satzes (1922; F. d. M. 48, 356 (JFM 48.0356.*)-357) auf meromorphe Funktionen: Es sei \(f(z)\) eine meromorphe Funktion positiver Ordnung \(\varrho\), dann gibt es eine Zahl \(k > 1\) und eine unendliche Folge von Kreisringen \(C_p\), \[ \dfrac{1}{k} R_p<|z|<k R_p, \] derart, daß die Anzahl der \(x\)-Stellen von \(f(z)\) in \(C_p\) zwischen den Schranken \[ \dfrac{T (R_p)}{4\log k} \;\;\;\text{und} \;\;\;\dfrac{2T(k^2R_p) }{\log k} \] liegt für jedes \(p > p_0 (x)\), ausgenommen höchstens zwei Werte von \(x\). Die Folge der \(R_p\) kann außerdem so gewählt werden, daß \[ \lim\limits_{p\to\infty}\dfrac{\log T(R_p)}{\log R_p}=\varrho, \] und dann ist der Konvergenzexponent nur der \(x\)-Stellen von \(f(z)\), die in den \(C_p\) liegen, immer noch gleich \(\varrho\), ausgenommen höchstens zwei Werte von \(x\). An diesen Satz lassen sich die \textit{Julia}schen Resultate aus dem \textit{Picard}schen Ideenkreis anknüpfen (vgl. z. B. die Besprechung der die \textit{Julia}schen Gedankengänge in gewissem Sinne abschließenden Arbeit von \textit{A. Ostrowski}: 1925; F. d. M. 51, 260 (JFM 51.0260.*)). Für Funktionen unendlicher Ordnung ist das obige Resultat nicht befriedigend, da das Verhältnis der Schranken für die Anzahl der \(x\)-Stellen in den \(C_p\) nicht mehr notwendig positive endliche Unbestimmtheitsgrenzen hat. (Offensichtlich sind an dieser Stelle der Arbeit ``ordre fini'' und ``ordre infini'' zu vertauschen.) Für gewisse Funktionen unendlicher Ordnung wird darum noch ein Resultat angegeben, in dem die Kreisringe von festem Radienverhältnis durch solche fester Breite ersetzt sind. Mit einer Ausdehnung der Fragestellung auf Funktionen der Ordnung Null, die nicht mehr beantwortet wird, schließt die Arbeit.