Über die Wertverteilung einer analytischen Funktion in der Umgebung einer isolierten wesentlich singulären Stelle. (Q1450556)

Hat eine Funktion \(u(z)\) genau \(q\) Singularitäten, \(c_1, c_2, \ldots, c_{q-1}, c_q = \infty\), so kann man durch Bildung von \(u\{f(z)\} = u^{*}(z)\) die Abschätzung der Anzahl der Wurzeln der Gleichungen \(f(z) = c_\nu (\nu = 1, 2, \ldots,q)\) (\(f(z)\) meromorph) im Kreise \(|z|< r\) auf die Abschätzung der Anzahl der innerhalb desselben Kreises liegenden Singularitäten von \(u^{*}(z)\) zurückführen. Nun folgt aus den Untersuchungen von \textit{Picard, Poincaré, Bieberbach} u. a. folgendes: Sind \(c_1, c_2,..., c_{q-1}\) beliebige vorgegebene Punkte in der \(z\)-Ebene, so existiert eine und nur eine nebst ihren partiellen Ableitungen in der ganzen Ebene mit Ausnahme von \(c_1, c_2, \ldots, c_{q-1}\) und \(\infty\) reelle eindeutige und stetige Funktion von \(z\), die 1. in der Umgebung jedes endlichen \(c_\nu\) die Entwicklung \[ u(z) =\log\dfrac{1}{|z-c_\nu|}-\log_2\dfrac{1}{|z-c_\nu|}+ \varepsilon(z - c_\nu), \] in der Umgebung von \(z =\infty\) die Entwicklung \(u(z) = - \log |z| - \log_2 |z| + \varepsilon\biggl (\dfrac{1}{|z|}\biggr)\) gestattet, und welche 2. der Differentialgleichung \(\varDelta u = e^{2u}\) genügt. Diese beiden Voraussetzungen ermöglichen es, mit Heranziehung der \textit{Green}schen Transformationsformel eine Beziehung zwischen \(\mu (r) =\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u^*(re^{i\varphi})d\varphi\) und gewissen mit Hilfe der Wurzeln von \(f(z) =c_\nu\) gebildeten Integralen herzustellen. Verf., welcher diese fundamentale Idee in einer späteren Arbeit (Acta Math. 50 (1927), 159-188; F. d. M. 53, 300 (JFM 53.0300.*)) bis ins einzelne durchgerührt hat, zeigt hier, wie man durch solche Überlegungen auch den zweiten Fundamentalsatz der \textit{Nevanlinna}schen Theorie gewinnen kann. Auch der erste ist hier eingegliedert, indem man für \(q = 2\) als \(u(z)\) die Funktion \(\log |z - c_1| (\varDelta u = 0)\) benutzen kann. In seiner Acta-Arbeit tritt übrigens \(u(z)\) auf als eine ``Invariante'' der linear polymorphen Funktion \(\zeta (z)\), welche die einfach zusammenhängende und unendlichvielblättrige \textit{Riemann}sche Fläche \(R (z, c_1, c_2, \ldots, c_{q-1};\infty)\) auf die Halbebene \({\mathfrak I}\zeta>0\) konform abbildet.