Series é integrales \(D\). (Q1450578)

Die Theorie der \textit{Dirichlet}schen Reihen (\(D\)-Reihen) und die Theorie der \textit{Laplace}schen Transformation (\(D\)-Integrale) werden gleichzeitig und parallel zueinander entwickelt. Der Beweisgang wird so geführt, daß für die entsprechenden Sätze derselbe Beweis gilt, indem man die Worte Summe und Integral, Reihe und uneigentliches Integral, Inkrement und Differential usw. vertauscht. Die Analogie ist auf Grund gewisser Vereinbarungen so genau hergestellt, daß für jedes Paar entsprechender Sätze häufig nur einer der Beweise entwickelt wird. Bemerkenswert sind die einfachen Ausdrücke für die Konvergenzabszisse, im Fall der im Unendlichen regulären Funktion, die Anwendungen des Summationsverfahrens von \textit{Borel} zur Erweiterung des Konvergenzgebietes, eine Formel zur Inversion des \textit{Laplace}schen Integrals durch einen Grenzprozeß \[ \varphi(t)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!}\biggl(\dfrac{n}{t}\biggr)^{n+1}f^n\biggl(\dfrac{n}{t}\biggr) \] usw. Eine kurze Darstellung der Doppelreihen und -integrale (Multiplikationssatz, \textit{Mertens}scher Satz, Summation divergenter Prozesse usw.) wird als Anhang beigefügt. (IV 7.)