Sur le théorème d'unicité dans la théorie des fonctions presque périodiques. (Q1450589)

Ein in der Theorie der reinperiodischen Funktionen bekannter (und aus der nachstehenden Formulierung leicht abzulesender) Satz wird auf fastperiodische Funktionen ausgedehnt: Es seien \(\sigma_1\) und \(\sigma_2> \sigma_1\) zwei Abszissen und \[ F_1(t)=f_1(\sigma_1+it) \;\;\text{und} \;\;\;F_2(t) =f_2(\sigma_2+it) \] zwei fastperiodische Funktionen der reellen Veränderlichen \(t\). Ihre \textit{Fourier}reihen \[ f_1 (\sigma_1 + it)\sim \sum B_ne^{i\varLambda _nt} \;\;\text{und} \;\;f_2(\sigma_2+it)\sim \sum C_ne^{i\varLambda _nt} \] mögen sich entsprechen, d. h. sie mögen dieselben Exponenten \(\varLambda_n\) haben, und zwischen ihren Koeffizienten \(B_n\) und \(C_n\) mögen die Beziehungen \[ B_n=A_ne^{\varLambda_n\sigma_1}, \quad C_n=A_ne^{\varLambda_n\sigma_2} \] mit denselben \(A_n\) bestehen, oder also: Die genannten beiden \textit{Fourier}reihen mögen sich formal aus ein und derselben \textit{Fourier}reihe \(\sum A_ne^{i\varLambda_n(\sigma+it)}\) für \(\sigma=\sigma_1\) und \(\sigma=\sigma_2\) ergeben. Dann gehören \(f_1(\sigma_1+it)\) und \(f_2 (\sigma_2 + it)\) derselben analytischen Funktion an, d. h. es gibt eine in \(\sigma_1<\sigma < \sigma_2\) reguläre und in \(\sigma_1\leqq \sigma \leqq \sigma_2\) noch stetige analytische Funktion \(f(s)\), so daß \[ f_1(\sigma_1+it)=f(\sigma_1+it) \;\;\text{und} \;\;\;f_2 (\sigma_2 + it) = f(\sigma_2 + it) \] ist. Diese Funktion ist überdies in \(\sigma_1 < \sigma < \sigma_2\) fastperiodisch und hat als \textit{Dirichlet}entwicklung die Reihe \(\sum A_ne^{\varLambda_ns}\).