Sopra una equazione trascendente trattata da Eulero. (Q1450597)

Die bereits von \textit{Euler} betrachtete, durch \[ F_\alpha(z)=1-\frac{z^2}{\alpha(\alpha+1)}+ \frac{z^4}{\alpha(\alpha+1)\,(\alpha+2)\,(\alpha+3)}-+ \cdots\qquad(\alpha>0) \] definierte ganze Funktion, besitzt, wie Verf. zeigt, für \(0<\alpha\leqq 3\) nur reelle, für \(\alpha>3\) keine reellen Nullstellen. Die recht einfache und durchsichtige Beweismethode liefert noch den folgenden interessanten algebraischen Satz: Liegen alle Nullstellen des Polynoms \(P(z)\) in der Halbebene \(\mathfrak R(z)\leqq 0\), so gilt das Gleiche für das Polynom \[ a_0P\,(z-n)+\cdots+a_\nu P\,(z-n+2\nu)+\cdots+ a_nP\,(z+n), \] vorausgesetzt, daß die Nullstellen des Polynoms \(a_n z^n+\cdots+ a_\nu z^\nu +\cdots+a_0\) in \(|\,z\,|\leqq 1\) liegen. (II 3.)