On the zeros of certain trigonometric integrals. (Q1450598)

Verf. gibt ohne Beweis eine Reihe von Beispielen trigonometrischer Integrale der Gestalt \[ G(z)=2\textstyle \int\limits_{0}^{\infty } \displaystyle F(u)\,\cos zu\,du\,, \] die nur reelle Nullstellen haben. Er nennt ferner den folgenden oft anwendbaren Satz, der ein Kriterium für die Existenz unendlich vieler reeller Nullstellen darstellt: Es sei \(F(u)\) gerade, analytisch und reell für reelles \(u\), und es gelte mit \(u\to+\infty \) \[ \qquad\qquad\qquad u^2\,F^{(n)}(u)\to0\qquad\quad(n=0,1,2,\dots). \] Besitzt \(G(z)\) nur endlich viele reelle Nullstellen, so gibt es ein ganzes \(N\), sodaß für alle \(n>N\) \(|\,F^{(n)}(it)\,|\) in \(0<t<T\) ständig wächst. Dabei ist \(iT\) die dem Nullpunkt nächste rein imaginäre singuläre Stelle von \(F(u)\) (eventuell \(T=\infty\) ). Mit Hilfe dieses Satzes wird ein besonders einfacher Beweis für die Existenz unendlich vieler reeller Nullstellen der \textit{Riemann}schen \(\xi\)-Funktion (\textit{Hardy}) skizziert.