Bemerkung über die Integraldarstellung der Riemannschen \(\xi\) Funktion. (Q1450599)

Für die \textit{Riemann}sche Funktion \(\xi(z)\) aus der Primzahltheorie gilt bekanntlich \[ \displaylines{\rlap{\qquad(\(^\ast\))} \hfill \xi(z)=2\textstyle \int\limits_{0}^{\infty } \displaystyle \varPhi(u)\,\cos\,zu\,du, \hfill} \] wo jedenfalls \(\varPhi(u)\) gerade ist und den asymptotischen Relationen \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill \varPhi(u)\cong 4\pi ^2 e^{\tfrac{9u}{2}-\pi e^{2u}} \qquad(u\to+\infty ) \hfill} \] und \[ \displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill \varPhi(u)\cong4\pi ^2\biggl(e^{\tfrac{9u}{2}}+ e^{-\tfrac{9u}{2}}\biggr)e^{-2\pi \text{ch}\,2u}\qquad (|\,u\,|\to\infty ) \hfill} \] genügt. Verf. beleuchtet die \textit{Riemann}sche Vermutung dadurch, daß bei Ersatz von \(\varPhi(u)\) in (\(^\ast\)) durch die rechte Seite von (1) das neue Integral unendlich viele nicht reelle, dagegen bei Ersatz durch die rechte Seite von (2) tatsächlich nur reelle Nullstellen hat.