Über die algebraisch-funktionentheoretischen Untersuchungen von J. L. W. V. Jensen. (Q1450600)

Im Nachlaß von \textit{Jensen} fanden sich eine Reihe von Notizen, die sich auf die Anwendung seiner algebraisch-funktionentheoretischen Untersuchungen auf die \textit{Riemann}sche \(\xi\)-Funktion beziehen. Verf. gibt den Inhalt dieser Notizen, soweit er sich rekonstruieren ließ, im Zusammenhang mit seinen eigenen gleichlaufenden Ergebnissen wieder. Es handelt sich darum, wann Funktionen der Form \[ F(z)=2\textstyle \int\limits_{0}^{\infty } \displaystyle \psi(t)\,\cos\,zt\,dt \] nur reelle Nullstellen haben. Dabei ist \(\psi(t)\) (nicht identisch 0) für \(t\geqq 0\) reell, beliebig oft differenzierbar und \(\dfrac{1}{t}\,\log\,|\,\psi^{(n)}(t)\,|\to-\infty \) für \(t\to\infty \) (\(n\) beliebig). Ferner soll \(F(z)\) eine ganze Funktion vom erhöhten Geschlechte 1 sein, d. h. \[ F(z)=e^{-\gamma z^2}\,H(z), \] wo \(\gamma\geqq 0\) und \(H(z)\) vom Geschlechte 0 oder 1 ist. Bei der \textit{Riemann}schen Funktion \(\xi\biggl(\dfrac{z}{2}\biggr)\) sind mit \[ \psi(t)=\varPhi(t)=\textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle (2n^4\,\pi ^2e^{9t}-3n^2\,\pi e^{5t})\,e^{-n^2 \pi e^{4t}} \] diese Voraussetzungen erfüllt. Notwendige Bedingungen: \(\psi(t)\) muß gerade sein, \(\psi''(t)\) muß Zeichenwechsel haben, und in \[ F\,(z)=b_0-\frac{b_1}{1\,!}\,z^2+\frac{b_2}{2\,!}\,z^4-+\cdots \] müssen die \(b_n\) eines Vorzeichens sein (bei \(\varPhi(t)\) erfüllt). Notwendig muß auch \(b_n^2-b_{n-1}b_{n+1}\geqq 0\) sein, was bei \(\xi(z)\) bisher nicht nachgewiesen ist. Es folgen einige notwendige und hinreichende Bedingungen, z. B. \[ \textstyle \int\limits_{-\infty }^{\infty } \int\limits_{-\infty }^{\infty } \displaystyle \psi(\alpha)\,\psi(\beta)\,(x+i\alpha)^n\, (x+i\beta)^n\,(\alpha-\beta)^2\,d\alpha\,d\beta>0 \] für alle reellen \(x\) und \(n=0\), 1, 2, \(\cdots\). Interessanter ist die folgende (indirekt gefaßte) hinreichende Bedingung für unendlich viele reelle Nullstellen: Hat \(F(z)\) nur endlich viele reelle Nullstellen, so ist der zu 0 nächste singuläre Punkt von \(\psi(t)\) (dieses ist als gerade vorausgesetzt) rein imaginär, etwa \(\tau=iT\), (\(T>0\)). Und es gibt ein \(N\), so daß \(|\,\psi^{(n)}(it)\,|\) für \(n>N\) zwischen 0 und \(T\) monoton wächst. Die Bedingung des Satzes ist für \(\varPhi(t)\) nicht erfüllt, und Verf. erhält so einen neuen, dem \textit{Hardy}schen allerdings ähnlichen Beweis für die Existenz unendlich vieler reeller Nullstellen von \(\xi(z)\). Zum Schluß beleuchtet Verf. an einem interessanten Beispiel die praktische Unmöglichkeit, die obigen notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Lösung des \textit{Riemann}schen Problems zu benutzen.