Eine neue Darstellung der Riemann'schen Zetafunktion. (Q1450603)

Verf. geht aus von der \textit{Riemann}schen Integraldarstellung der Zetafunktion in der Form \[ \zeta(s)=\frac{i\varGamma(1-s)}{2\pi }\, \int\limits_W \frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}\,dz; \] hierbei ist \[ (-z)^{s-1}=e^{(s-1)\log(-z)} \] gesetzt, und der \(\log\,(-z)\) ist für negatives \(z\) reell anzusetzen. Als Integrationsweg ist eine von \(z=+\infty\) ausgehende, den Nullpunkt rechtläufig umkreisende und darauf nach \(z=+\infty\) zurückkehrende Schleife zu wählen. Verf. gelangt zu einer neuartigen Integraldarstellung der Zetafunktion, indem er den Weg \(W\) durch einen vermittelst eines parabelähnlichen Zweiges der Kurve \[ e^x\,\cos\,y={\frac{1}{2}} \] aus \(W\) entstehenden Weg ersetzt. Verf. erhält so zunächst eine durch Spezialisierung weitere Formeln liefernde Integralformel für \(\zeta(s)\) und ferner \[ \displaylines{\rlap{\qquad(\(^\ast\))} \hfill \zeta(s)=\frac{i\varGamma(1-s)}{2\pi } \,\int\frac{\Bigl(\log\,(1+v)\Bigr)^{s-1}}{v}\,dv, \hfill} \] worin das Integral über den Kreis \(|\, v\, | = 1\) so zu erstrecken ist, daß \(v\) das Intervall \(-\pi\leqq v\leqq +\pi \) stetig durchläuft. Die durch dieses Integral definierte Funktion ist ganz und besitzt außer den Nullstellen von \(\zeta(s)\) die einfachen Nullstellen \(s=2\), 3, 4, \dots Auch das Verhalten der Zetafunktion bei \(s=1\) läßt sich vermittelst dieser Integralformel studieren, wenn man sie unter Heranziehung der Theorie der Gammafunktion transformiert; weitere Umformungen auf Grund \textit{Nielsen}scher Ergebnisse über die Gammafunktion liefern ferner Formeln, die auch das Verhalten der Zetafunktion für negatives ganzes \(s\) und den bekannten Zusammenhang dieser Werte mit den \textit{Bernouli}schen Zahlen charakterisieren. Ferner ergeben sich Darstellungen von \(\zeta(s)\) durch unendliche Reihen, die mit den von \textit{Nielsen} (Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Leipzig 1906; F. d. M. 37, 450 (JFM 37.0450.*)) eingeführten \textit{Stirling}schen Polynomen und den mit diesen verwandten, von \textit{Nörlund} (Differenzenrechnung, Berlin 1924 (F. d. M. 50, 315 (JFM 50.0315.*)); S. 146,147) untersuchten, durch die Entwicklung \[ \biggl(\frac{t}{e^t-1}\biggr)^z=\textstyle \sum\limits_{\nu=0}^{\infty } \displaystyle \frac{t^\nu}{\nu\,!}\,B_\nu^{(z)}\quad\text{für}\quad |\,t\,|<2\pi \] definierten Polynomen \(B_\nu^{(z)}\) behaftet sind, und deren Konvergenz für die Werte \[ s = 2, 3, \dots, \] die Nullstellen des Integrals (\(^\ast\)) sind, der Verf. nachweist. Weitere Darstellungen, die z. B. den Wort von \(\zeta'(0)\) liefern, ergeben sich aus diesen Formeln vermittelst der \textit{Riemann}schen Funktionalgleichung für \(\zeta(s)\).