Bemerkung zu der Arbeit von H. Behnke: ``Die Kanten singulärer Mannigfaltigkeiten''. (Q1450615)

In dieser Arbeit wird der Beweis des Kantensatzes von \textit{Behnke} (s. das vorstehende Referat) wesentlich vereinfacht und die dort über \(\alpha\) gemachte Voraussetzung zu \(\alpha<\dfrac{\pi }{2}\) abgeschwächt. Setzt man \(S(0) = 0\) voraus und betrachtet die Funktion \(f\biggl(z_1,z_2+\dfrac{s}{3}\biggr)\), so gilt (nach \textit{Hartogs}): \[ \varDelta_2\,\log \biggl|\,S\,(z_2)-\frac{s}{3}\,\biggr|\leqq 0, \] woraus man für \(z_2=0\) \[ -\frac{3}{s}\varDelta_2S_1-\frac{9}{s^2}\varDelta_1S_1+ \frac{9}{s^2}\varDelta_1S_2\leqq 0\quad (\varDelta_1\varphi=\varphi_{x_2}^2+\varphi_{y_2}^2,\;\; \varDelta_2\varphi=\varphi_{x_2x_2}+\varphi_{y_2y_2}) \] erhält. Wendet man dies auf \(f\,(z_1,z_2- az_1)\) bzw. \(f\,(z_1,z_2- iaz_1)\) an, so muß die entsprechende Ungleichung für jedes reelle \(a\) gelten, was -- wie eine Rechnung zeigt -- nur dann möglich ist, wenn \(S_1\) und \(S_2\) die \textit{Cauchy-Riemann}schen Differentialgleichungen befriedigen.