Séries entières doubles et multiples. Szeregi potȩgowe powójne i wielokrotne. (Q1450616)

Verf. beschäftigt sich mit der Konvergenz mehrfacher Reihen. Setzt man in \[ \begin{gathered} \textstyle\sum a_{\nu\mu}x^\nu\,y^\mu\\ \alpha_{\nu\mu}=|\,a_{\nu\mu}\,|\,,\;\;r=|\,x\,|\,,\;\; s=|\,y\,|\,,\end{gathered} \] so gelten die elementar beweisbaren Sätze: Die Reihe \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill \quad \textstyle \sum\limits_{\mu,\nu=0}^{\infty } \displaystyle \alpha_{\mu\nu}r^\mu\,s^\nu\hfill} \] ist für \(0\leqq s\leqq s_0\), \(0\leqq r\leqq r_0\) konvergent, wenn sie für \(r_0\) und \(s_0\) konvergiert. Ferner ist notwendig und hinreichend für die Konvergenz in einem Punkt \((r, s)\) mit \(s>0\), daß alle Reihen \[ b_\nu\,(r)=\textstyle \sum\limits_{\mu=0}^{\infty } \displaystyle a_{\mu\nu}r^\mu\qquad \nu=1,2,3,\ldots\quad \text{für \(r\) konvergieren}, \] und daß ferner \[ \textstyle \sum\limits_{\nu=0}^{\infty } \displaystyle b_\nu\,(r)\,s^\nu\;\;\;\text{für \(s\) konvergiert.} \] Konvergiert ferner die Reihe (1) für zwei verschiedene Punkte \(r_1\), \(s_1\) und \(r_2\), \(s_2\) so konvergiert sie auch in jedem Punkt der folgenden, die beiden Punkte verbindenden Kurve: \[ r^\alpha\,s^\beta=r_1^\alpha\,s_1^\beta\;\; \text{mit}\;\;\alpha=\lambda\,\log\frac{s_1}{s_2},\;\; \beta=\lambda\,\log \frac{r_1}{r_2}\;\; (\text{\(\lambda\) willkürlicher Parameter}). \] Es folgt eine Diskussion der Kurve. Analoge Sätze gelten in drei Dimensionen. Die genannte ebene Kurve ist durch die Raumkurve \[ \begin{gathered} \biggl(\frac{r}{r_1}\biggr)^\beta=\biggl(\frac{s}{s_1}\biggr)^\alpha, \quad\biggl(\frac{s}{s_1}\biggr)^\gamma= \biggl(\frac{t}{t_1}\biggr)^\beta,\quad \biggl(\frac{t}{t_1}\biggr)^\alpha= \biggl(\frac{r}{r_1}\biggr)^\gamma\\ \text{mit}\;\;\alpha=\log\frac{r_1}{r_2},\quad \beta=\log\frac{s_1}{s_2},\quad \gamma=\log\frac{t_1}{t_2} \end{gathered} \] zu ersetzen.