Einige Bemerkungen über schlichte Abbildung. (Q1450631)

Es wird bewiesen: Wenn für die im Einheitskreise regulären und schlichten Funktionen \[ f\,(x)=x+\textstyle \sum\limits_{\nu=2}^{\infty } \displaystyle a_\nu\,x^\nu \] die \textit{Bieberbach}sche Vermutung \[ |\,a_\nu\,|\leqq \nu \] richtig ist für \(\nu=2\), \dots, \(n\), so gilt \[ |\,f^{(n)}\,(x)\,|\leqq g^{(n)}\,(r)=n\,!\, \frac{n+r}{(1-r)^{n+2}}\qquad\biggl( |\,x\,|=r,\;\;g(x)=\frac{x}{(1-x)^2}\biggr). \] Ferner wird eine Abschätzung von \textit{Bieberbach} (1924; F. d. M. 50, 640 (JFM 50.0640.*)) mit etwas schwächeren Hilfsmitteln, als dieser verwendet hat, verschärft.