Bemerkungen zu einer Arbeit von Herrn Fejér über die Legendreschen Polynome. (Q1450638)

Verf. untersucht zunächst zwei Fälle, in denen sich der \(n\)-te Abschnitt einer Potenzreihe durch den Betrag der Funktion, die sie darstellt, abschätzen läßt. Sodann wird \[ m_n = \underset{|z| \leqq 1}{\text{Max}} \left| \sqrt{1-z} \cdot \left(1+\frac 12 z + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} z^2 + \cdots + \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdots 2n} z^n\right) \right| \] betrachtet und \(\lim\limits_{n\to\infty} m_n\) berechnet. Schließlich wird eine asymptotische Formel für allgemeine Polynomklassen, die \textit{Fejér} eingeführt hat (1925; F. d. M. 51, 225 (JFM 51.0225.*)), abgeleitet. Ist nämlich \[ f(z) = \alpha_0 + \alpha_1 z + \cdots + \alpha_n z^n + \cdots \] und \(\alpha_0 \geqq \alpha_1 \geqq \cdots \geqq \alpha_n \geqq \cdots > 0\), \(\lim \alpha_n = 0\), \(\lim \dfrac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n} = 1\), \(\dfrac{\alpha_n}{\alpha_{2n}}< C\), und setzt man \[ f(re^{i\theta}) \cdot f(re^{-i\theta}) = \sum P_n (\cos \theta) \cdot r^n, \] dann gilt \[ P_n (\cos \theta) = 2\alpha_n Re^{-in} f(e^{2i\theta}) + o(\alpha_n) \] gleichmäßig in jedem Intervall \(\varepsilon \leqq \theta \leqq \pi - \varepsilon\) mit \(0 < \varepsilon < \pi\).