Ein Beitrag zur Theorie der Thetafunktionen. (Q1450648)

Verf. untersucht Polynome \(\varphi_n(x)\), für die \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\vartheta)\cdot \varphi_m(z) \overline{\varphi_n(z)} \, d\vartheta = 0 \qquad (m \neq n, \, z = e^{i\vartheta}) \] gilt, wobei \[ f(\vartheta) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} q^{\tfrac{n^2}{2}} e^{in\vartheta} \qquad (0 < q < 1) \] eine Thetafunktion ist. Er findet, daß \[ \varphi_n(z) = \frac{(-1)^n q^{\tfrac n2}}{\sqrt{(1-q) \cdots (1-q^n)}} \, G_n(-q^{-\tfrac 12} z) \] \[ G_n(\xi) = \sum_{\nu=0}^n \left[{n \atop \nu}\right] \xi^\nu, \quad \left[{n \atop \nu}\right] = \frac{(1-q^n)(1 - q^{n-1}) \cdot (1 - q^{n-\nu + 1})}{(1-q)(1-q^2) \cdot (1 - q^\nu)}. \tag{"mit"} \] Sodann werden, z. T. aus einer früheren Arbeit des Verf. (1921; F. d. M. 48, 376 (JFM 48.0376.*)), einige Identitäten, sowie Sätze über die Nullstellen der \(\varphi_n(x)\) abgeleitet; diese sind alle voneinander verschieden und vom Betrage 1. Es wird bewiesen, daß jede im Kreise \(|\xi| < q^{-\frac 12}\) reguläre Funktion nach den \(G_n(\xi)\) in eine Reihe entwickelt werden kann. Ferner betrachtet Verf. die Polynome \[ K_n(\xi) = \sum_{\nu=0}^n \left[{n\atop \nu}\right] q^{\nu(\nu+1)} \xi^\nu, \] die sich auch durch eine Orthogonalitätsbeziehung kennzeichnen lassen und daher reelle Nullstellen haben, sowie die Grenzfunktion \(\lim\limits_{n\to\infty} K_n(\xi)\). (Vgl. hierzu \textit{Wigert}, 1923; F. d. M. 49, 296 (JFM 49.0296.*).)