\(B, E\) polynomials and their related integrals. (Q1450649)

Der bei der Behandlung der \textit{Bernoulli}schen Polynome übliche Formalismus erscheint in dieser Arbeit bis zum Äußersten getrieben. Verf. rechnet mit Zahlenreihen \(a = \{a_1, \dots, a_n, \dots\}\) und entwickelt im Anschluß an \textit{Lucas} und \textit{Blissard} für diese ``Umbrae'' einen Kalkül. Z. B. setzt er mit der üblichen Verwendung der symbolischen Potenzen \[ \sin ut = \sum_0^\infty \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{(2n+1)!} \, u_{2n+1}, \quad \frac{d}{du} \, \sin ut = t\cos ut. \] Hat man eine Gleichung \[ kt^r \left[I(t)\right]^{-1} = \sum_0^n \frac{t^n}{n!} \, a_n \equiv \exp(a^t), \] wobei \(k\) irgend eine Zahl, \(t\) eine Veränderliche, \(I(t)\) ein Polynom in \(e^{xt}\), \(e^{yt}\), \dots, und \(a\) eine ``Umbra'' ist, so heißt \(kt^r I^{-1}\) die Erzeugende der Umbra. Je nachdem \(r > 0\) oder \(r = 0\), bilden die \(a_n\) eine Folge von \(B\)-Zahlen oder von \(E\)-Zahlen. Dementsprechend sind die \(B\)-Polynome, bzw. \(E\)-Polynome durch \[ R\equiv (p+ a)^n + \frac{d^r}{da^r}(X+a)^n + \frac{d^s}{da^s} (Y + a)^n + \cdots \] definiert; \(p_n\) ist eine geeignete Zahlenfolge, \(X\), \(Y\), \dots sind Veränderliche. Im zweiten Teil beschränkt sich Verf. darauf, die durch \[ \frac{e^{(a+nb)t}}{(e^{bt} - 1)^{n+1}} = \frac{1}{n!}(bt)^{-n-1} \exp \left(B^{(n)}(a, b) t\right) \] definierten Polynome und verwandte näher zu untersuchen, besonders den Fall \(n = 0\). In der etwas unübersichtlichen Fülle von Identitäten, die der Formalismus liefert, finden sich als Spezialfälle bekannte Ergebnisse über die \textit{Bernoulli}schen und \textit{Euler}schen Polynome.