Sur une relation entre le logarithme intégral et une fonction étudiée par Binet. (Q1450672)

Verf. setzt die Funktionen \[ A(x) = \int_0^\infty \frac{e^{-xz}\, dz}{1+z^2}, \qquad B(x) = \int_0^\infty \frac{z\cdot e^{-xz}\, dz}{1+z^2} \] in Beziehung zu der Funktion \(\tilde\omega(z)\) in \[ \log \varGamma(x) = (x - \frac 12) \log x - x + \log \sqrt{2\pi} + \tilde\omega (x). \] Er gelangt zu folgenden Ergebnissen: \[ \pi \tilde\omega \left(\frac{x}{2\pi}\right) = A(x) + \frac 12 A(2x)+ \cdots - \frac 12 \tilde\omega^\prime \left(\frac{x}{2\pi}\right) = B(x) + B(2x) + \cdots, \] \[ \frac{1}{\pi} A(2\pi x) = \sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n} \tilde\omega(nx) - 2B(2\pi x) = \sum_1^\infty \mu(n) \tilde\omega^\prime(nx) \] und zu Beziehungen, aus denen für den Integrallogarithmus \[ \text{li }(e^{-xi}) = ie^{-xi} (A(x) + iB(x)) \] folgt: \[ e^{xi} \text{ li }(e^{-xi}) = \log x + \pi i \int_0^1 e^{-\pi z i} \log \frac{\varGamma\left(x+\tfrac z2\right)}{\varGamma\left(x+\tfrac z2 + \tfrac 12 \right)} \, dz. \] Er vergleicht seine Resultate mit denen von \textit{N. Nielsen} (Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transcendenten, Leipzig 1906; F. d. M. 37, 454 (JFM 37.0454.*)) und macht auf ihre primzahltheoretische Bedeutung aufmerksam. (II 8.)