Quelques développements hypergéométriques. (Q1450688)

Für allgemeine hypergeometrische Funktionen \[ {}_rF_s(a_1, \dots, a_r; b_1, \dots, b_s; x) = \sum_m \frac{(a_1, m) \dots (a_r, m) x^m}{(b_1, m) \dots (b_s, m) m!} \] gilt die Formel (I): \[ \begin{multlined} {}_rF_s(a_1, \dots, a_r; b_1, \dots, b_s; xt) \cdot {}_\varrho F_\sigma \left(\alpha_1, \dots, \alpha_\varrho; \beta_1, \dots, \beta_\sigma; \frac{\lambda x}{t}\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n x^n}{n!}\, \frac{(a_1, n) \dots (a_r, n) }{(b_1, n) \dots (b_s, n) }. \end{multlined} \] \[ \begin{multlined} {}_{r+\varrho}F_{s+ \sigma + 1}(a_1+n, \dots, a_r+n, \alpha_1, \dots, \alpha_\varrho; b_1+n, \dots, b_s+n, \beta_1, \dots, \beta_\sigma, n+1; \lambda x^2) \\ + \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda^n x^n}{t^n n!}\, \frac{(\alpha_1, n) \dots (\alpha_\varrho, n)}{(\beta_1, n) \dots (\beta_\sigma, n)}. \end{multlined} \] \[ {}_{r+\varrho}F_{s+ \sigma + 1}(a_1, \dots, a_r, \alpha_1+n, \dots, \alpha_\varrho+n; b_1, \dots, b_r, \beta_1+n, \dots, \beta_\sigma+n, n+1; \lambda x^2). \] Sie ist eine Verallgemeinerung der \textit{Schlömilch}schen Entwicklung \[ e^{\tfrac z2 \, \left(t-\tfrac 1t\right)} = \sum_{-\infty}^{+\infty} t^n J_n(z), \] die man aus (I) erhält, indem man \(r = s = \varrho = \sigma = 0\), \(\lambda = -1\) und \(x = \frac z2\) setzt. Aus (I) ergibt sich die weitere Formel (II): \[ \frac{x^n}{n!} {}_\varrho F_{\sigma+1}(\alpha_1, \dots, \alpha_\varrho; \beta_1, \dots, \beta_\varrho, n+1; x^2) = \frac{1}{2\pi i} \int e^{xt} {}_\varrho F_\sigma \left(\alpha_1, \dots, \alpha_\varrho; \beta_1, \dots, \beta_\varrho; \frac xt\right) \, \frac{dt}{t^{n+1}}. \] Die Formeln (I) und (II) liefern eine Reihe teils schon bekannter, teils neuer Entwicklungen.