The solution of Mathieu's differential equation: Representation by contour integrals and asymptotic expansions. (Q1450698)

Die Arbeit schließt an zwei frühere an (Proceedings Edinburgh M. S. 24 (1915-1916) 176-196 und Proceedings Edinburgh M. S. 41 (1922-1923), zitiert ``II''); über einige gebrauchte Ergebnisse von II wird hier kurz mitberichtet. -Verf. stellt sich die Aufgabe, die Theorie der allgemeinen \textit{Mathieu}schen Differentialgleichung so zu entwickeln, daß, wie es auch der Entstehung aus der Wellengleichung für die Ellipse bzw. der Potentialgleichung für den elliptischen Zylinder entspricht, der Übergang zum Grenzfall der \textit{Bessel}funktionen in Evidenz tritt. Er geht von der Differentialgleichung aus \[ \frac{d^2 u}{d\sigma^2} + \frac{1}{\sigma} \, \frac{du}{d\sigma} \left(1+\frac{s^2}{\sigma^2} + \frac{k^4}{\sigma^4}\right) u = 0, \] die durch einfache Transformation aus der sonst meistens üblichen mit periodischen Koeffizienten hervorgeht, und für \(k = 0\) mit der Gleichung für die \textit{Bessel}schen Funktionen vom Argument \(i\sigma\) und Index \(s\) zusammenfällt. Es werden nun Analoga zu den \textit{Hankel}schen (aus der \textit{Laplace}transformation entspringenden) Integralen gesucht, aber nicht durch direkten Integralansatz, sondern durch Umrechnung unendlicher Reihen. In II werden drei solche aufgestellt; die ersten beiden (die gewöhnlich ein Fundamentalsystem bilden) lauten: \[ J(\pm \mu, i\sigma) = \sqrt{2/\pi}\, e^{i\mu\pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \chi(n+\mu) \sigma^{2n+2\mu}. \] Der allgemeine Koeffizient \(\chi(n + \mu)\) ist dabei das Produkt aus einer reziproken \(\varGamma\)-Funktion und einer Fakultätenreihe von \(2n + 2\mu + \frac 12\), welche ihrerseits die durch den Reihenansatz entstehende Differenzengleichung zweiter Ordnung löst. Der Umlaufsexponent \(2\mu\) ist aus einer transzendenten Gleichung zu bestimmen. Für \(n \geqq 0\) können nun die Koeffizienten \(\chi (n+\mu)\) mittels des Integrals für die \(B\)-Funktion in die Form gebracht werden \[ C_\mu \int\limits_{(0, 1^+, 0)} \frac{t^{2n}}{(2n)!} \, F(t) \, dt, \quad \text{ worin } \quad F(t) = (1-t)^{2\mu - \tfrac 12} \mathfrak P (1-t) \] ist und die Potenzreihe für \(|t-1| < 2\) konvergiert. Es zeigt sich aber -und dieser, durch eine Integraldarstellung von \(F(t)\) geführte Nachweis ist für das Folgende entscheidend -- daß \(F(t)\) im Endlichen überallhin analytisch fortsetzbar ist, außer an die Stellen \(\pm 1\), wo multiplikative Singularitäten sitzen können. Nunmehr wird für \(n < 0\) Potenz die \(\sigma^{2n}\) durch das Integral \(\int_0^\infty \frac{e^{-\sigma t} t^{-2n-1} \, dt}{(-2n)!}\) ersetzt. Durch Wegdeformation und Summation unter dem Integralzeichen ergibt sich schließlich \[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \chi(n+\mu) \sigma^{2n+2\mu} = \frac 12 C_\mu \sigma^{2\mu} \int\limits_{(\infty, (-1)^-, 1^+, \infty)} e^{-\sigma t} F(t) \, dt. \] Damit ist ein Integral vom gewünschten Typ erhalten, dem sich weitere anschließen. Nach geläufigen Verfahren können jetzt asymptotische Entwicklungen für große Werte von \(|\sigma|\) erhalten werden. Spezialisierung für den Fall der \textit{Bessel}funktionen. (IV 9.)