On Bessel functions of higher classes and one of their applications. (Q1450703)

In \S1 wird die \textit{Bessel}sche Differentialgleichung \(k\)-ter Klasse und \(n\)-ter Ordnung \[ \vartheta^k(y)+ (x^k-n^k)y = 0 \quad \left(\vartheta= x\frac d{dx}\right) \] gelöst. Für \(n \neq 0\) ergibt sich das allgemeine Integral \(\sum\limits_\varepsilon A_\varepsilon J_{\varepsilon n}^{(k)}\) \((\varepsilon^k = 1\)), wo \[ \begin{aligned} &J_{\varepsilon n}= Ax^{\varepsilon n}(B_0+ B_1x^k+B_2x^{2k} + \cdots), \\ &B_r = - \frac{B_{r-1}}{(\varepsilon n+rk)^k-n^k}, \;B_0 = 1. \end{aligned} \] Für \(n = 0\) ergibt sich nach einem Verfahren von \textit{Frobenius} (J. f. M. 76 (1873), 214-235; F. d. M. 5, 180 (JFM 05.0180.*)) das allgemeine Integral als ein Ausdruck, der ganzrational in \(\log x\) und gewissen steigenden Potenzreihen von \(x\) ist, und zwar in \(\log x\) vom Grade \(k-1\). Für \(n = 0\), \(k = 2\) und 3 wird die allgemeine Lösung explicite angeschrieben. \S 2 behandelt als Anwendung das Integral \[ J^{(k)}=\frac 1{2\pi i}\int\limits_{a-i\infty}^{a+i\infty}\{\varGamma(s)x^{-s}\}^k\,ds, \] wo \(x > 0\), \(a > 0\), \(k\) ganz und positiv (\textit{Fujiwara}, Japanese Journ. of Math. 2 (1925), 5-8; F. d. M. 51, 277 (JFM 51.0277.*)), das eine Lösung der Differentialgleichung \[ \vartheta^k(y)+(\omega^{k-1}kx)^ky=0 \quad (\omega^k=-1) \] ist. \(J^{(1)}\), \(J^{(2)}\) und \(J^{(3)}\) werden explicite als Ausdrücke in \(\log x\) und Potenzreihen angeschrieben. In \S 3 wird bewiesen: \[ J^{(k)} = k^{-\frac 12}(2\pi)^{\frac {k-1}2}x^{-\frac{k-1}2}e^{-kx} \left(1 + \frac {A_1}x+\frac{A_2}{x^2}+ \cdots\right) \] mit reellen \(A_\nu\), deren Berechnung gelehrt wird. Im Anhang wird ein früheres Versehen berichtigt: In Science Reports Tôhoku University 9 (1920), 304; F. d. M. 47, 464 (JFM 47.0464.*) muß das Ergebnis lauten: \[ \int\limits_0^\infty \exp\left(-x^2-\frac{a^2}{x^2}\right)\frac{dx}{x^m}= \frac{\sqrt \pi}2a^{-\frac m2}e^{-2a}\sin \frac{m\pi}2 \left\{1+O\left(\frac 1a\right)\right\} \] für \(a \to + \infty\).