A symbolic proof of Euler's addition theorem for elliptic functions. (Q1450718)

Es sei \[ f_4 = a_x^4 =a_0x^4+ 4a_1x^3+ 6a_2x^2 + 4a_3x + a_4 \] eine binäre Form vierter Ordnung und \(y\) eine Funktion von \(x\). Dann wird bewiesen, daß die \textit{Euler}sche Differentialgleichung \[ \frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{a_y^4}}{\sqrt {a_x^4}} \] ein algebraisches Integral \(y\) besitzt, das durch die ganze rationale Relation \[ k\cdot a_x^2a_y^2+\lambda \cdot h_x^2h_y^2-\tfrac 12 \mu(xy)^2=0 \] definiert werden kann. Hierbei sind \(\lambda\) und \(\mu\) willkürliche Konstanten, und \(k\) wird durch \[ k^2=\lambda\mu+\tfrac 16\lambda^2i \] bestimmt, wo \(i= (ab)^4\) und \(h_x^4=(ab)^2a_x^2b_x^2\) die \textit{Hesse}sche Kovariante von \(f_4\) ist. Das Resultat wird ausgedehnt auf eine Differentialgleichung der Gestalt \[ \frac{dy}{dx}\cdot \frac{d\eta}{d\xi}=\frac{a_y^2\alpha_\eta^2}{a_x^2\alpha_\xi^2}, \] wo \(y\) nur von \(x\) und \(\eta\) nur von \(\xi\) abhängt, und wo \[ f=a_x^2\alpha_\xi^2=\sum a_{ik,rs}x_ix_k\xi_r\xi_s \] eine doppeltbinäre Form vorstellt.