A class of reciprocal functions. (Q1450782)

Ziel der Arbeit ist die Untersuchung des Ausdrucks \[ \varphi(z)=\frac1{\sqrt\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(z-u)^2}f(u)\,du \] bei vorgegebenem \(f(u)\). Man braucht hierzu oft die \textit{Hermite}schen Polynome; deshalb beginnt Verf. mit einer zusammenfassenden Herleitung ihrer Eigenschaften. Er bringt unter andrem einige Abschätzungen und zeigt, daß die größte Nullstelle \(x_n\) einer Ungleichung \[ (2n+1)^{\frac12}-2\pi^{\frac23}(2n+1)^{-\frac16}<x_n<(2n+1)^{\frac12} \] genügt. Der Abschnitt schließt mit einer ausführlichen Bibliographie über \textit{Hermite}sche Polynome. -- Im zweiten Abschnitt werden die \(\varphi(z)\) für besonders geartete \(f(u)\) untersucht. Z. B. ist \(\varphi(z)\) ganz, wenn \(f(u)\) \textit{Lebesgue}-integrabel ist und wenn das Integral \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2+2\alpha|u|}|f(u)|\,du \] für jedes nichtnegative \(\alpha\) existiert. Ist dies nur für ein festes \(\alpha\) der Fall, so läßt sich immerhin aussagen, daß \(\varphi(z)\) in einem gewissen Streifen holomorph ist und im Kreise \(|z|<\alpha\) die Entwicklung \[ \varphi(z)=\sum_{n=0}^\infty f_n(2z)^n \] zuläßt; dabei ist formal \(f(u)\sim\sum\limits_{n=0}^\infty f_nH_n(u)\) zu setzen. Zur Vermeidung gewisser Konvergenzschwierigkeiten, die bei der Umkehrung dieser Beziehung, also beim Übergang von \(\varphi(z)\) zu \(f(u)\) auftreten, wird zunächst ein von einem Parameter \(s\) abhängendes Integral \[ f(w,s)=\frac1{\sqrt\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(iw+y)^2}\varphi(isy)\,dy \] eingeführt und seine Existenz für die fraglichen \(\varphi(y)\) bewiesen. Für genügend kleine \(s\) ist eine Entwicklung \[ f(w,s)=\sum_{n=0}^\infty f_n H_n(w) s^n \] nach \textit{Hermite}schen Polynomen möglich. Im folgenden wird gezeigt, daß der Übergang von \(f(w,s)\) zu \(f(w)\) (\(s\to1\)) ``fast immer'' gestattet ist. Damit sind Bedingungen für die Lösbarkeit der obigen Funktionalgleichung gewonnen. Am Schlusse der Arbeit werden eine Anzahl von Kriterien dafür, daß eine Funktion in eine \textit{Hermite}sche Reihe entwickelt werden kann, zusammengestellt, und zwar wird besonders der Fall \textit{Abel}scher Summation, d. h. die Existenz von \(\lim\limits_{s\to 1}\sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n H_n(u)s^n\) behandelt. (Vgl. auch \textit{Szegö}, Beiträge zur Theorie der Laguerreschen Polynome. M. Z. 25, 87-115; F. d. M. 52, 280 (JFM 52.0280.*).) (IV 6 A.)