Le calcul symbolique d'Heaviside. (Q1450822)

\textit{Heaviside} hat zu seinen bekannten symbolischen Methoden der Integration von Differentialgleichungen und der asymptotischen Entwicklung der Lösungen keine Beweise geliefert. \textit{Carson} (vgl. das vorstehende Referat) hat die symbolische Methode durch die Betrachtung einer Integralgleichung ersetzt und aus dieser die \textit{Heaviside}schen Ergebnisse (allerdings auch ohne strenge Beweise) hergeleitet. Verf. lehnt die \textit{Carson}sche Begründung als überflüssig ab und versucht, die symbolische Methode direkt zu rechtfertigen. Er muß jedoch hierzu manchmal Voraussetzungen über den analytischen Charakter der beteiligten Funktionen machen, die bei \textit{Carson} nicht nötig sind. Es werde mit \(I\) die Integration von 0 bis zur variablen oberen Grenze, mit \(I^n\) die \(n\)-fache Iteration dieses Prozesses bezeichnet. Für negatives \(n\) bedeute \(I^n\) Differentiation \(n\)-ter Ordnung. Es liege nun die Differentialgleichung \[ a_0\frac{d^ny}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+\cdots +a_ny=f(t) \] vor. Setzt man mit \textit{Heaviside-Carson} \[ \frac d{dt}=p=I^{-1}\quad \text{und}\quad a_0p^n+ a_1p^{n-1}+ \cdots + a_n = \varphi(p), \] so lautet die Gleichung \[ \varphi(p)[y] = f \] und ihre Lösung \[ y=\frac 1{\varphi(p)}[f], \] wo \(\dfrac 1{\varphi(p)}\) eine inverse Operation von \(\varphi(p)\) ist, d. h. \[ \varphi(p)\frac 1{\varphi(p)}[f]=f. \] Eine solche Operation erhält man durch Reihenentwicklung der gebrochen rationalen Funktion \(\dfrac 1{\varphi(p)}\) nach Potenzen von \(p^{-1}=I\): \[ \frac 1{\varphi(p)}=\overline{h}\left(\frac 1p\right)= \overline{h}(I)=c_nI^n+c_{n+1}I^{n+1}+\cdots . \] Sie liefert, auf \(f\) angewendet, die Lösung, die im Nullpunkt mit ihren \(n - 1\) ersten Ableitungen verschwindet. Übrigens ist explicite \[ \frac 1{\varphi(p)}=\frac 1{\varphi(0)}+\sum_k\frac 1{\varphi'(p_k)p_k} \sum_{\nu=0}^\infty(p_kI)^\nu, \] wo die \(p_k\) die Wurzeln von \(\varphi\) sind. Daraus ergibt sich für \(f= 1\) als Lösung der Differentialgleichung: \[ h(t)=\frac 1{\varphi(0)} +\sum_k\frac{e^{p_kt}}{p_k\varphi'(p_k)}, \] und für beliebiges \(f\): \[ y(t)=\int\limits_0^t f(u)h'(t - u)\,du.\quad (\text{Bekannte klassische Lösung}.) \] \(h\) genügt der bei \textit{Carson} im Mittelpunkt stehenden Integralgleichung \[ \int\limits_0^\infty e^{-pt}h(t)\,dt=\frac 1{p\varphi(p)}. \] Um die \textit{Heaviside}schen asymptotischen Entwicklungen zu bekommen, muß man die lösende Operation nicht nach Potenzen von \(I\), sondern von \(I^{-1} = p\) entwickeln. Verf. zeigt an einem Beispiel, daß diese asymptotische Entwicklung manchmal ein andres Integral liefert als \(\dfrac 1{\varphi(p)}[f]\), indem nämlich noch ein Integral der homogenen Gleichung hinzutritt. Hieraus erklärt es sich, daß in der \textit{Heaviside}-Entwicklung manchmal gewisse Glieder unterdrückt werden müssen, wenn sie die zuerst aufgestellte Lösung wiedergeben soll. Die Methoden können auch auf partielle Differentialgleichungen angewendet werden. Beispiele: Schwingungsgleichung und Wärmeleitungsgleichung. (IV 9, 12.)