On a linear dependence and its application. (Q1450839)

Verf. beweist den folgenden Satz: Die Funktionen \(g_1(x),\ldots, g_r(x)\) seien in einer Umgebung von \(x_0\) stetig und mit stetigen ersten Ableitungen versehen, sie mögen in \(x_0\) nicht zugleich verschwinden und in der Umgebung von \(x_0\) der Beziehung \[ g_i\frac{dg_j}{dx}-g_j\frac{dg_i}{dx}=\sum_{k=1}^rc_{ijk}g_k\quad (i,j=1,\ldots,r) \] mit konstanten \(c_{ijk}\) genügen; dann sind die \(g_i\) im Falle \(r \geqq 4\) linear abhängig, für \(r = 2,3\) brauchen sie es nicht zu sein. Dieser Satz steht in engem Zusammenhange mit der wohlbekannten Tatsache, daß eine \textit{Lie}sche Gruppe von Transformationen einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit höchstens von drei wesentlichen Parametern abhängen kann.