Über die beiden niederen Differentialinvarianten einer räumlichen Transformationsgruppe. (Q1450848)

Sind \[ U_1f, U_2f, \ldots, U_{2n+2}f \qquad (n\geqq 2) \] die infinitesimalen Grundtransformationen einer (räumlichen) transitiven \((2n + 2)\)-parametrigen Transformationsgruppe \(G_{2n+2}\), \(U_i^{(n)}f\) ihre \(n\)-maligen Erweiterungen, so ist die niedrigste Differentialinvariante der Gruppe als Integral des vollständigen partiellen Systems \(U_i^{(n)}f = 0\) gegeben. Verf. gewinnt Bedingungen, unter welchen diese niedrigste Differentialinvariante von der Ordnung \(n\) ist und eine integrallose Darstellung der zwischen den beiden höchsten in der Differentialinvarianten auftretenden Ableitungen bestehenden Beziehung. Im Fall der räumlichen Bewegungsgruppe nimmt die erwähnte Beziehung die Gestalt einer binären quadratischen Form in bezug auf die beiden höchsten Ableitungen an; drei weitere Spezialisierungen gestatten gleichfalls einfache Darstellungen. Während im allgemeinen für die Ordnung \(\varrho\) und \(\tau\) der niedrigsten Differentialinvarianten \(I_\varrho\) und \(I_\tau\) von \(G_{2n+2}\) bzw. \(G_{2n+1}\) \(\varrho = n\), \(\tau = n + 1\), bzw. \(\varrho = \tau = n\) gilt, besteht in Sonderfällen der Satz: Die Ordnung der beiden Differentialinvarianten (einer \(G_{2n+2}\) bzw. \(G_{2n+1}\)) kann nicht gleichzeitig für beide kleiner als \(n\) sein, so lange sie nicht verschwindet. Eine genauere Untersuchung liefert für eine \(G_\nu\) (abgesehen von einem Ausnahmefall) die Schranken \[ \varrho\leqq\dfrac{\nu}{2}, \;\dfrac{\nu -1}{2}\leqq\tau\leqq\nu-\varrho -1 \qquad (\varrho\neq 0, \tau\neq 0). \] Weitere Ergebnisse liefert die Betrachtung der zur jeweils vorliegenden Gruppe gehörigen (niedrigsten) Bogenelemente.