Über zwei unendliche Transformationsgruppen der Ebene. (Q1450849)

Verf. betrachtet von den imprimitiven Transformationsgruppen der Ebene, die sich durch Differentialgleichungen definieren lassen, die beiden Gruppen \[ Xp - (yX' + X''q) \quad \text{ und } \quad (\text{II}) \;Xp - (2yX' + X'''q), \tag{"(I)"} \] die schon in vereinfachter Gestalt geschrieben sind. Die endlichen Transformationen von (I) lassen sich in der Gestalt \[ x_1=x_1(x), \;y_1=y\left(\dfrac{dx_1}{dx}\right)^{-1} \dfrac{d^2x_1}{dx^2}\cdot\left(\dfrac{dx_1}{dx}\right)^{-2} \tag{"(I*)"} \] schreiben. Die Gruppe (I*) besagt dann, wie die bekanntere Gruppe \[ x_1 = x_1(x), z_1=z\left(\dfrac{dx_1}{dx}\right)^{-1} \] die beiden Größen \(x\) und \(z^{-1}\dfrac{dz}{dx}\) transformiert. Die endlichen Transformationen der Gruppe (II) sind dagegen: \[ x_1 = x_1(x), \quad y_1 = \left(\dfrac{dx_1}{dx}\right)^{-2}(y -\{x, x_1\}). \tag{"(II*)"} \] Hier bedeutet \(\{x, x_1\}\) die sogenannte \textit{Schwarz}sche Reziprokante: \[ \left(\dfrac{dx_1}{dx}\right)^{-1}\dfrac{d^3x_1}{dx^3} - \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{dx_1}{dx}\right)^{-2} \left(\dfrac{d^2x_1}{dx^2}\right)^2. \] Die Gruppe (II*) besagt, wie die Gruppe (\(G\)) die beiden Größen \(x\) und \(\{x, \int zdx\}\) transformiert. Die bekannte Relation für die Reziprokante \[ \{x, x_1\} dx^2 = - \{x_1, x\} dx_1^2 \] bedeutet gruppentheoretisch, daß die Gruppe (II*) zu jeder Transformation auch die inverse enthält.