Sur l'intégrale supérieure et l'intégrale inférieure d'une équation différentielle. (Q1450875)

Wird in der Differentialgleichung \[ y'=f(x,y) \] die Funktion \(f (x, y)\) in einem gewissen Gebiet der \((x, y)\)-Ebene nur stetig vorausgesetzt, so gibt es bekanntlich unter Umständen durch einen Punkt \(O\) dieses Gebietes unendlich viele Lösungskurven, die alle zwischen zwei äußersten verlaufen: der Minimal bzw. Maximallösung (s. z. B. \textit{O. Perron} 1916; F. d. M. 45, 469 (JFM 45.0469.*)). Nennt man das Gebiet oberhalb einer Lösungskurve deren ``région supérieure'', so gilt nun der Satz: Die Maximallösung ist eine stetige Funktion ihres Ausgangspunktes in ihrer région supérieure, d. h. wenn \((x_n, y_n)\) gegen \((x_0, y_0)\) strebt und dabei stets in der région supérieure der durch \((x_0, y_0)\) gehenden Maximallösung bleibt, so konvergiert die Maximallösung durch \((x_n, y_n)\) gleichmäßig gegen die durch \((x_0, y_0)\) in einer gewissen Umgebung von \(x_0\). Entsprechendes gilt natürlich für die Minimallösung. Diesen Satz hatte Verf. früher fälschlicherweise ohne die besondere Bedingung für \((x_n, y_n)\) ausgesprochen (1907; F. d. M. 38, 440 (JFM 38.0440.*)). Es folgt ein Häufungssatz für die Lösungen der Differentialgleichungen \( y'=f_n(x,y) \), wenn \(f_n\) gleichmäßig gegen eine stetige Funktion \(f\) strebt. Ferner werden zwei Vergleichssätze für die Lösungen zweier Differentialgleichungen \( y'=f(x,y) \) und \( y'=g(x,y) \) mit \(f< g\) bewiesen, wobei zum Teil auf die Stetigkeit von \(f\) und \(g\) verzichtet wird. Aus ihnen ergibt sich eine Schranke für die Differenz \(|y_2-y_1|\) zweier verschiedener Integrale einer Gleichung durch einen Punkt, der einen Satz von \textit{Tonelli} leicht verallgemeinert (1925; F. d. M. 51, 332 (JFM 51.0332.*)). Aus ihm werden Eindeutigkeitssätze gefolgert. Zuletzt werden die vorhin erwähnten Vergleichssätze etwas verallgemeinert, so daß aus ihnen leicht die Resultate von \textit{Perron} (loc. cit.) folgen.