Über einen neuen Typus linearer Differentialgleichungen. (Q1450888)

Verf. geht aus von der \textit{Hilbert}schen Formulierung des \textit{Riemann}schen Problems der Theorie der linearen Differentialgleichungen: Zu einer auf einer regulären geschlossenen Kurve \(C\) gegebenen Matrix \(S\) von Ortsfunktionen mit nicht verschwindender Determinante ist eine Matrix \(J_i\) von innerhalb und \(J_a\) von außerhalb \(C\) regulären Funktionen zu finden, deren Randwerte durch die Relation \(\overline J_a=S\overline J_i\), wo der Überstrich die Randwerte bedeuten soll, zusammenhängen. Von hier aus gelangt er zu einem neuen Typ von Differentialgleichungen, was zunächst im einfachsten Fall so vor sich geht: Man betrachte die Differentialgleichung \[ \frac {dy}{dx}=y\sum _{\nu =1}^\sigma \frac {r_\nu }{x-a_\nu },\tag{1} \] wo die \(a_\nu \) auf \(C\) liegen mögen, was ohne Beschränkung als Einheitskreis angenommen werden kann, und \(\sum r_\nu =0\) ist. Wenn für ein \(\xi \) des Bogens \((a_\sigma,a_1)\) jetzt \(\overline y_a(\xi )= s_\sigma \overline y_i(\xi )\) gilt, so gilt auf \((a_\nu,a_{\nu +1})\) offenbar \[ \overline y_a(\xi )=s_\nu \overline y_i(\xi ), \;s_\nu =s_\sigma \omega _1 \omega _2 \ldots \omega _\nu, \;\omega _\chi =e^{2\pi ir_\chi }.\tag{2} \] Durch den Grenzübergang \(\sigma \to \infty \) wird der Einheitskreis singuläre Linie und (1) geht dabei über in \[ \frac {dy}{dx}=y\int \limits _{|\xi |=1}\frac {r(\xi )}{x-\xi }\,d\xi \quad \bigl( \int \limits _{|\xi |=1}r(\xi )\,d\xi =0\bigr). \] Aus (2) wird \[ \overline y_a(\xi )=s(\xi )\overline y_i(\xi ) \;\text{mit}\tag{3} \] \[ s(\xi)=s_\sigma e^{2\pi i\int _0^\xi r(\xi )\,d\xi } \text{ \;oder \;} \frac {ds}{d\xi }=s\,2\pi ir(\xi ).\tag{4} \] Die Bestimmung der Sprung-Funktion in (3) entspricht der Herstellung der Monodromiegruppe im Fall rationaler Koeffizienten; dagegen kann die Bestimmung von \(r(\xi )\) aus (4) als eine Modifikation des Problems von \textit{Hilbert} angesehen werden. Sodann wird die Untersuchung analog für ein System \[ \frac {dy_\chi }{dx}=\sum _{\lambda =1}^n y_\lambda a_{\lambda \chi }, \;\;a_{\lambda \chi }= \sum _{\nu =1}^\sigma \frac {r_{\lambda \chi }^{(\nu )}}{x-a_\chi }, \;\sum _{\nu =1}^\sigma r_{\lambda \chi }^{(\nu )}=0 \] geführt. Zur Bestimmung der \(r(\xi )\) entsprechenden Matrix aus der \(\sigma \) entsprechenden Matrix dient ein System gewisser Integralgleichungen, welches nach der Methode der sukzessiven Approximationen gelöst werden kann. (IV 7.)