Sobre la geometría de las ecuaciones diferenciales ordinarias de \(2^0\) orden: \(y'' = A(x,y) + B(x,y)y' + C(x,y)y^{\prime 2} + D(x,y)y^{\prime 3}\). (Q1450920)

Sind \(g_1\), \(g_2\), \(g_3\) drei durch einen Punkt \(P\) gehende Geraden der Ebene, \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) ihre Steigungen und \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) drei Punkte auf bzw. \(g_1\), \(g_2\), \(g_3\), so bestimmen die Punkte \(P\), \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) ein Kegelschnittbüschel, und eine einfache Betrachtung lehrt, daß die Krümmung und Steigung jeder Büschelkurve im Punkte \(P\) einer Gleichung \[ y''= D(y'- w_1)(y'- w_2)(y'- w_3) \] genügt, wo \(D\) nur von \(P\), \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) abhängt und mit diesen Punkten auch wirklich variiert. Man sagt nun, die Integralkurven der Differentialgleichung \[ f(x,y,y',y'')= 0 \] besitzen im Punkte \(P\) ein Büschel oskulierender Kegelschnitte, wenn es ein Büschel durch \(P\) gehender Kegelschnitte gibt, derart, daß jeder in \(P\) eine Integralkurve der Gleichung oskuliert. Mit dieser Sprechweise läßt sich dann folgender Satz aufstellen: Die Gleichungen \[ y'' = A(x,y) + B(x,y)y' + C(x,y)y^{\prime 2} + D(x,y)y^{\prime 3} \] sind die einzigen, deren Integralkurvengesamtheit in jedem Punkte der \((x, y)\)-Ebene ein Büschel oskulierender Kegelschnitte besitzt.