Neue Herleitung der Sturm-Liouvilleschen Reihenentwicklung stetiger Funktionen. (Q1450938)

Für das Oszillations- und Entwicklungstheorem der linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ \bigl(k(x) u'(x)\bigr)' + \bigl(l (x) + \lambda r (x)\bigr) u(x) = 0\tag{1} \] (der Strich bedeutet die Ableitung nach \(x\)) gibt Verf. hier einen sehr einfachen Beweis, der inzwischen bereits in die Lehrbuchliteratur Eingang gefunden hat (vgl. die Lehrbücher über Differentialgleichungen von \textit{Bieberbach} (3. Aufl. 1930; JFM 56.0375.*) und von \textit{Kamke} (1930; JFM 56.0375.*-377)). Es ist Verf. besonders um die Herleitung des Entwicklungssatzes zu tun; der Vollständigkeit halber schickt er einen einfachen, auf dem Existenztheorem der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung beruhenden Beweis des Oszillationstheorems voraus. Von (1) wird dabei lediglich vorausgesetzt, daß die Funktionen \(k (x)\), \(l(x)\), \(r(x)\) stetig, \(k(x)\) und \(r(x)\) positiv sind. Die Randbedingungen, die bekanntlich darin bestehen, daß für eine Lösung \(u(x)\) von (1) das Verhältnis \(\dfrac {u'}{u}\) in \(a\) und \(b\) vorgeschriebene Werte annimmt, werden vom Verf. mit Hilfe zweier gegebener Zahlen \(\alpha \), \(\beta \) so geschrieben: \[ \cos \alpha \cdot u(a) = \sin \alpha \cdot k(a) u'(a), \;\;\cos \beta \cdot u(b) = \sin \beta \cdot k(b) u'(b).\tag{2} \] Verf. beweist nun das \textit{Oszillationstheorem} in der folgenden Fassung: I. Es gibt eine abzählbare, im engeren Sinne monoton gegen \(+\infty \) wachsende Folge \(\lambda _0\), \(\lambda _1\), \(\lambda _2,\ldots \) von Parameterwerten \(\lambda \), für die die Gleichung (1) eine auf \(\langle a, b\rangle \) nicht identisch verschwindende, den Randbedingungen (2) genügende Lösung besitzt, und zwar gehört zu jedem \(\lambda _n\), eine und, von konstanten Faktoren abgesehen, auch nur eine solche Lösung \(\varphi _n(x)\). Diese Lösung \(\varphi _n(x)\) besitzt in \((a,b)\) genau \(n\) Nullstellen; in jeder dieser Nullstellen ist \(\varphi _n'(x)\neq 0\). Nur dann ist \(\varphi _n(a)\) bzw. \(\varphi _n(b)\) gleich Null, wenn \(\alpha \) bzw. \(\beta \) ein Vielfaches von \(\pi \) ist. Die Funktionen \(\varphi _n(x)\) genügen ferner den Orthogonalitätsbedingungen \[ \int _a^br(x)\varphi _m(x) \varphi _n(x)\,dx=0\quad (m\neq n);\tag{3} \] sie werden so normiert, daß \[ \int _a^br(x) \varphi _n^2(x)\,dx=1\tag{4} \] ist. Läßt nun eine auf \(\langle a, b\rangle \) integrierbare Funktion \(f (x)\) eine nach den \(\varphi _n(x)\) fortschreitende, gleichmäßig konvergierende Entwicklung \[ f(x) =\sum _{n=0}^\infty c_n\varphi _n(x)\tag{5} \] zu, so ergibt sich auf Grund von (3) und (4) für die ``\textit{Fourier}koeffizienten'' \(c_n\) dieser Entwicklung in bekannter Weise: \[ c_n=\int _a^b r(t) f(t)\varphi _n(t)\,dt.\tag{6} \] Dem \textit{Entwicklungssatz} gibt nun Verf. die folgende Fassung: II. Für jede auf \(\langle a, b\rangle \) stetige, einmal abteilungsweise stetig differenzierbare, an denselben Endpunkten wie \(\varphi _0(x)\) verschwindende Funktion \(f (x)\) konvergiert die Reihe \[ \sum _{n=1}^\infty \varphi _n(x)\int _a^b r(t) f(t)\varphi _n(t)\,dt\tag{7} \] absolut und gleichmäßig auf \(\langle a, b\rangle \) und stellt dort die Funktion \(f(x)\) dar. Die Konvergenz der Reihe (7) wird mit Hilfe des Konvergenzsatzes aus \S \ 2 der Dissertation von \textit{Erhard Schmidt} (1905; F. d. M. 36, 461 (JFM 36.0461.*)) bewiesen; die Tatsache, daß die Reihe (7) -- wenn sie gleichmäßig konvergiert -- die Funktion \(f(x)\) auch wirklich darstellt, ergibt sich aus dem \textit{Abgeschlossenheitssatz}: III. Eine auf \(\langle a, b\rangle \) stetige Funktion \(h(x)\), die den Bedingungen \[ \int _a^b r(t) f(t)\varphi _n(t)\,dt=0 \] für \(n = 0, 1, 2,\ldots \) genügt, ist dort identisch Null. III wird unter Anwendung von I bewiesen, und zwar mit Hilfe der folgenden Interpolationsaufgabe, deren Lösbarkeit sich aus I ergibt: Die Zahlen \(c_0,c_1,\ldots,c_{n-1}\) so zu bestimmen, daß die Funktion \[ c_0\varphi_0(x) + c_1\varphi_1(x) +\cdots +c_{n-1}\varphi_{n-1}(x) \] an \(n\) in \(\langle a, b\rangle \) vorgeschriebenen Stellen vorgeschriebene Werte annimmt. Am Schluß der Arbeit setzt Verf. auseinander, wie einige wichtige Reihenentwicklungen -- die \textit{Fourier}sche Entwicklung, die Entwicklungen nach \textit{Bessel}schen Funktionen, nach \textit{Legendre}schen und nach \textit{Hermite}schen Polynomen --, die in dem Entwicklungssatz II nicht enthalten sind, weil die Randbedingungen (2) oder die Voraussetzungen über die Funktionen \(k(x)\), \(l(x)\), \(r(x)\) nicht erfüllt sind, durch geringfügige Abänderung seiner Methode auch gewonnen werden können. Für den erstgenannten Fall z. B. ergibt sich so ohne weiteres der klassische Satz, daß eine auf \(\langle -\pi, +\pi \rangle \) stetige, einmal abteilungsweise stetig differenzierbare Funktion vom periodischen Typus eine auf \(\langle -\pi, +\pi \rangle \) absolut und gleichmäßig konvergierende \textit{Fourier}entwicklung zuläßt. (IV 3D.)