Über nichthomogene lineare Differenzengleichungen. (Q1450974)

Es handelt sich um die Differenzengleichung \[ \sum\limits_{\nu =0}^n c_\nu \overset{\nu}{\underset{\omega}\Delta}u(x) = \varphi (x) \qquad (c_0\neq 0, \;c_n=1, \;\omega >0), \] wobei \(\lim\limits_{x\to\infty}\varphi (x) = b\) sein soll. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung \(\sum c_\nu z^\nu = 0\) seien \(a_1,\ldots, a_n\). Verf. zeigt: Wenn die Zahlen \(\gamma_\nu = |1 + a_\nu\omega |\) alle kleiner als \(1\) sind, so hat \textit{jede} Lösung \(u(x)\) die Eigenschaft \(\lim\limits_{x\to\infty} u(x) = \dfrac{b}{c_0}\); wenn alle \(\gamma_\nu\) größer als \(1\) sind, so hat genau \textit{eine} Lösung diese Eigenschaft; wenn die \(\gamma_\nu\) teils kleiner, teils größer als \(1\) sind, so haben \textit{gewisse} Lösungen diese Eigenschaft. Der Fall \(\gamma_\nu =1\) bleibt unentschieden. Genau so verhalten sich auch die Lösungen der allgemeineren Differenzengleichung \[ \sum\limits_{\nu =0}^n q_\nu (x) \overset{\nu}{\underset{\omega}\Delta}u(x) = \varphi (x), \] wobei \(\lim\limits_{x\to\infty}q_\nu (x) = c_\nu\) sein soll, und wobei weiter vorausgesetzt wird, daß die \(\gamma_\nu\) von \(0\) und voneinander verschieden sind, und daß die Variable \(x\) nur die Multipla der Spanne \(\omega\) durchläuft. Alle Beweise sind ganz analog zu denen von \textit{Perron} (1920, 1923; F. d. M. 47, 406; 49, 306) für die entsprechenden Sätze über Differentialgleichungen.