On a generalization of Nörlund's polynomials. (Q1450983)

Die fraglichen mit \(x_{\omega n}^\nu\) bezeichneten Polynome von \(x\) sind definiert durch die beiden Funktionalgleichungen \[ \underset{1}\Delta x_{\omega n}^\nu = \nu x_{\omega,n-1}^{\nu -1}, \quad \underset{\omega}\Delta x_{\omega n}^\nu = \nu x_{\omega n}^{\nu -1}, \] und die Anfangsbedingungen \[ x_{\omega n}^0 =1, \qquad x_{\omega 0}^\nu = \prod\limits_{\lambda =0}^{\nu -1}(x - \lambda\omega ). \] \(\nu\) ist der Grad des Polynoms \(x_{\omega n}^\nu\); \(\omega\) heißt der Rang, \(n\) die Ordnung des Polynoms; für \(n\) ist jede ganze, auch negative Zahl zulässig. Die Polynome \(x_{\omega n}^\nu\) sind durch vorstehende Formeln eindeutig bestimmt und können außerdem auch durch die Formel \[ t^n[(1+\omega t)^\tfrac{1}{\omega} - 1]^{-n}(1+\omega t)^\tfrac{x}{\omega} = \sum\limits_{\nu =0}^\infty \dfrac{t^\nu}{\nu !}x_{\omega n}^\nu \] definiert werden. Für \(\omega = 0\), \(n = 1\) kommen die \textit{Bernoulli}schen Polynome, für \(\omega = 0\) und beliebiges \(n\) deren \textit{Nörlund}sche Verallgemeinerungen bei zusammenfallenden Spannen. Für \(x = 0\), \(n = 1\) kommen die \textit{Lubbock}schen Polynome von \(\omega\). Verf. leitet zahlreiche zwischen den Polynomen \(x_{\omega n}^\nu\) bestehende Formeln her, von denen die folgenden als typische Beispiele erwähnt seien: \[ (x+y)_{\omega,n+r}^\nu = \sum\limits_{s=0}^\nu {\nu\choose s} y_{\omega r}^s x_{\omega n}^{\nu -s}, \qquad Q(x+y) = \sum\limits_{s=0}^\infty \dfrac{y_{\omega r}^s}{s!} \underset{1}\Delta^r\underset{\omega}\Delta^{s-r}Q(x). \] \(Q(x)\) bedeutet dabei ein beliebiges Polynom. (IV 6 A.)