Über die Integration linearer, partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. I, II. (Q1451017)

Es werden zwei verschiedene Probleme behandelt. Erstes Problem: Sei \(\varDelta (\xi_1, \dots, \xi_p)\) eine reelle homogene Form von geradem Grad \(n= 2m \geqq p\). Die Fläche \[ H(\xi_1, \dots, \xi_{p-1}) \equiv \varDelta(\xi_1, \dots, \xi_{p-1}, 1) = 0 \] bestehe, wenn \(\xi_1, \dots, \xi_{p-1}\) rechtwinklige Koordinaten im \(R_{p-1}\) bedeuten, aus \(m\) den Nullpunkt umschließenden, einander nicht schneidenden Ovalen. Dann integriere man die ``hyperbolische'' Differentialgleichung \[ \varDelta\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_{p-1}}, \frac{\partial}{\partial t}\right) F = 0 \] mit den Nebenbedingungen \[ \left(\frac{\partial^\mu F}{\partial t^\mu}\right)_{t=0} = 0 \quad (\mu = 0, 1, \dots, n-2), \quad \left(\frac{\partial^{n-1} F}{\partial t^{n-1}}\right)_{t=0} = f(x_1, \dots, x_{p-1}). \] Zweites Problem: Die reelle homogene Form \(\varDelta_n(\xi_1, \dots, \xi_{p-1})\) von geradem Grad \(n = 2m \geqq p\) sei definit. Dann suche man ein Integral der ``elliptischen'' Differentialgleichung \[ \varDelta_n \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_{p-1}}\right) F = f(x_1, \dots, x_{p-1}). \] Bedeutet \(d\omega\) das von der Wahl der Funktionen \(u_\nu(\xi_1, \dots, \xi_{p-1})\) unabhängige Differential der Fläche \(H = 0\): \[ d\omega = \pm \frac{du_1 \dots du_{p-2}}{\dfrac{\partial(H, u_1, \dots, u_{p-2})}{\partial(\xi_1, \dots, \xi_{p-1})}}, \] und zwar für die einzelnen Ovale positiv oder negativ genommen, je nachdem beim Durchgang vom Innern ins Äußere des betreffenden Ovals die Funktion \(H\) wachsend oder abnehmend durch Null geht, so hat die Differentialgleichung des ersten Problems (ohne Berücksichtigung der Randbedingungen) die für reelle \(x_\nu\) und imaginäres \(t\) gültige Lösung \[ \int \frac{d\omega}{E}, E = \sum_{\nu=1}^{p-1} x_\nu \xi_\nu + t. \] Hiervon ausgehend wird für die Lösung des ersten Problems die folgende explizite Darstellung gewonnen: \[ F(x_1, \dots, x_{p-1}, t) = \int f(y_1, \dots, y_{p-1}) \, K(x_1 - y_1, \dots, x_{p-1} - y_{p-1}, t) \, dy_1 \dots dy_{p-1}, \] das Integral über den ganzen \(R_{p-1}\) erstreckt. Dabei hat der Kern \(K\) die Gestalt \[ K(x_1, \dots, x_{p-1}, t) = \frac{-H(0, \dots, 0)}{2(2\pi i)^{p-2} (n-p)!} \, \int E^{n-p} \text{ sign } E\, d\omega \text{ für gerades } p, \] \[ K(x_1, \dots, x_{p-1}, t) = \frac{-2H(0, \dots, 0)}{(2\pi i)^{p-1} (n-p)!} \, \int E^{n-p} \log \left|\frac 1E \sum_{\nu=1}^{p-1} x_\nu^0 \xi_\nu\right| \, d\omega \text{ für ungerades } p, \] wobei die \(x_\nu^0\) beliebige nicht sämtlich verschwindende Konstanten sind. Bildet man mit der so gefundenen Lösung \(F\) des ersten Problems das Integral \(\int_0^t F\, dt\), so läßt sich dieses in zwei Summanden zerlegen, deren erster von \(t\) unabhängig ist, und deren zweiter der Differentialgleichung des ersten Problems genügt. Der erste Summand, dividiert durch \(H (0, \dots, 0)\) ist dann eine Lösung des zweiten Problems. Sie hat die Form \[ \int f(y_1, \dots, y_{p-1}) \, G(x_1 - y_1, \dots, x_{p-1} y_{p-1}) \, dy_1 \dots dy_{p-1}, \] wobei für den Kern \(G\) verschiedene Integraldarstellungen angegeben werden. Das ist der Inhalt der ersten Arbeit, die sich aber auf die Fälle \(p = 3, 4\) beschränkt. In der zweiten Arbeit wird der allgemeine Fall behandelt. Für \(K\) und \(G\) werden nach einer neuen Methode einige weitere Integraldarstellungen gefunden, z. B. \[ K(x_1, \dots, x_{p-1}, t) = \frac{H(0, \dots, 0)}{(2\pi)^p i^n} \int e^{i\sum x_\nu \xi_\nu} \, d\xi_1 \dots d\xi_{p-1} \int \frac{e^{i t \tau}\, d\tau}{\varDelta(\xi_1, \dots, \xi_{p-1}, \tau)}, \] wobei das innere Integral in der \(\tau\)-Ebene über eine die Nullstellen des Nenners umschließende Kurve zu erstrecken ist und sich daher auch als mit \(2\pi i\) multiplizierte Residuensumme darstellen läßt. Zum Schlusse wird der Spezialfall, daß die \(m\) Ovale der Fläche \(H = 0\) lauter Kugeln mit dem Mittelpunkt im Nullpunkt sind, noch genauer erörtert.