Zur Theorie der Systeme totaler Differentialgleichungen. (Q1451019)

Verf. betrachtet das lineare totale System \[ dz_\alpha = \sum_{\beta = 1}^n a_{\alpha\beta} \, dx_\beta \quad (\alpha = 1, 2, \dots, m), \] worin die \(a_{\alpha\beta}\) gegebene Funktionen der \(x_i\) und \(z_i\) sind. Nach einer einfachen Herleitung der bekannten Integrabilitätsbedingungen, die ja im Verschwinden eines gewissen Ausdrucks \(I^{\alpha\beta\lambda}\) bestehen, wendet sich Verf. der Deutung dieser \(I^{\alpha\beta\lambda}\) zu: Integriert man das totale (nicht notwendig integrable) System längs einer bestimmten, vom Punkte \(P_0 = (x_1^0, \dots, x_n^0)\) ausgehenden geschlossenen Kurve: \(x_\beta = x_\beta^0 + r\psi_\beta(s)\) (\(s\) Bogenlänge, \(r\) fest, genügend klein) und entwickelt die Differenz der End- und Anfangswerte der \(z_\alpha\) in \(P_0\) nach Potenzen von \(r\), so zeigt sich, daß die Glieder erster Ordnung verschwinden, während der Koeffizient der Glieder zweiter Ordnung gerade \[ \sum_{\lambda < \beta} I^{\alpha\beta\lambda} \, \omega_{\lambda\beta} \] ist, worin \(\omega_{\lambda\beta}\) den Flächeninhalt der Projektion der geschlossenen Kurve auf die \((x_\lambda, x_\beta)\)-Ebene bedeutet. Hierbei sind die \(a_{\alpha\beta}\) zunächst als analytische Funktionen vorausgesetzt. Das gleiche Resultat, zugleich mit einer Abschätzung der Glieder höherer Ordnung, leitet Verf. sodann unter der schwächeren Voraussetzung, daß die \(a_{\alpha\beta}\) in der Umgebung von \(P_0\) vollständige Differentiale erster Ordnung nach sämtlichen Variablen haben und mit ihren ersten Differentialquotienten beschränkt sind, ab. Verf. schließt mit einigen Bemerkungen über Systeme \textit{Monge}scher Gleichungen. -- Verf. hat diesen Gegenstand bereits in einer früheren Arbeit (1922; F. d. M. 48, 856 (JFM 48.0856.*)-857) behandelt und kommt hier auf ihn gelegentlich einiger Arbeiten von \textit{Tietze} (1923; 1924; F. d. M. 49, 546 (JFM 49.0546.*); 20, 175) und \textit{Levi-Civitá} (1924; F. d. M. 50, 680 (JFM 50.0680.*)) zurück.