Démonstration du théorème de Picard-Bernstein par la méthode des contours successifs; prolongement analytique. (Q1451029)

Verf. versteht unter dem Satz von \textit{Picard-Bernstein} folgende Aussage: Eine (im allgemeinen nichtlineare) Differentialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typus in zwei unabhängigen Veränderlichen sei analytisch in sämtlichen in ihr auftretenden Veränderlichen und deren Ableitungen innerhalb eines bestimmten Gebietes. Jede in diesem Gebiete dreimal differenzierbare Lösung ist dort dann auch analytisch. Der Satz wird folgendermaßen bewiesen: Aus der Existenz der dritten Ableitungen wird schrittweise auf die der höheren geschlossen und zwar in einer Folge von Gebieten, von denen jedes in dem vorhergehenden enthalten ist. Die betreffenden Ableitungen sind immer Lösungen von bestimmten linearen elliptischen Differentialgleichungen. Daraus ergibt sich für sie eine Darstellung und Abschätzung mit Hilfe der \textit{Green}schen Funktion. Aus dieser Abschätzung kann man schließlich erkennen, daß die betrachtete Lösung der ursprünglichen nichtlinearen Differentialgleichung wirklich in dem zugrunde gelegten Gebiet analytisch ist. Sie läßt sich dann und nur dann über einen Begrenzungsbogen des Gebietes fortsetzen, wenn sie auf diesem Bogen analytisch ist.