Sur quelques problèmes relatifs à l'équation aux dérivées partielles \(\left(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2} {\partial y^2}\right)^{(n)} u = 0\). (Q1451037)

Verf. nimmt einen den Nullpunkt sternförmig umlagernden Bereich \(B\) und sucht ein Integral der Differentialgleichung \[ \varDelta^{(n)}u\equiv\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^{(n)} u = 0, \tag{1} \] das 1. im Innern von \(B\) und über den Rand \(R\) hinaus analytisch und regulär ist und 2. auf \(R\) die Gleichungen \[ u=f_0,\;\varDelta u=f_1, \;\varDelta^{(2)}u=f_2,\ldots, \varDelta^{(n-1)}u=f_{n-1} \] befriedigt, wo die \(f_i\) analytische, reguläre, vorgegebene Funktionen des Polarwinkels \(\theta\) sind. Er zeigt, daß ein solches Integral eindeutig existiert und daß seine Bestimmung auf die \(n\)-malige Lösung des Randwertproblems für \(\varDelta u\) und \(n(n-1)\) Quadraturen hinauskommt. Wird die rechte Seite von (1) durch \(h(x,y)\) ersetzt, wobei \(\varDelta ^{(k)}h = 0\) für irgendeine ganze Zahl \(k\), dann kommen beim gleichen Problem noch \(2n\) Quadraturen hinzu. Ferner untersucht Verf. die Gleichung (1) in einem Kreisgebiet und sucht ein im Innern und auf dem Rande reguläres analytisches Integral \(u\), das auf \(R\) die Bedingungen \[ u=f_0, \;\frac{\partial u}{\partial \nu}=f_1,\ldots, \frac{\partial^{n-1}u}{\partial \nu^{n-1}}=f_{n-1}\qquad (\nu = \text{Normale}) \] befriedigt; es existiert ein solches Integral, das man durch \(n\)-malige Lösung derselben Aufgabe für \(n=1\) findet. Die Beweise beruhen auf der Transformation \(v=x+iy\), \(w=x-iy\) und dem Studium der Potenzentwicklungen nach \(v\), \(w\).