Note on Whittaker's solution of Laplace's equation. (Q1451051)

Eine allgemeine Lösung der Gleichung \[ V_{xx}+V_{yy}+V_{zz}=0 \] kann nach \textit{Whittaker} (Math. Ann. 57 (1903), 333-355; F. d. M. 34, 827 (JFM 34.0827.*)) in eine der Formen \[ \begin{aligned} & \int\limits_0^{2\pi}f(z+ix\cos u+iy\sin u; u)du, \tag{1}\\ & \int\limits_0^{2\pi}g(x+iy\cos u+iz\sin u; u)du, \tag{2}\\ & \int\limits_0^{2\pi}h(y+iz\cos u+ix\sin u; u)du, \tag{3} \end{aligned} \] mit beliebigen Funktionen \(f\), \(g\), \(h\) zweier Variablen gesetzt werden; dabei haben diese Darstellungen im \((x, y, z)\)-Raume aber verschiedene Geltungsbereiche. Insbesondere gestattet die Lösung \(V =\dfrac{2\pi}{r}\) diese Darstellungen, wobei \(f(v, u)\equiv v,\ldots\) zu setzen ist; sie gelten jeweils für \(z > 0\) bzw. \(x > 0\), \(y > 0\). Es gibt noch eine zweite Lösung vom Grade \(-1\): \[ V=\frac1r\cdot Q_0\left(\frac zr\right), \tag{4} \] die \(x=y= 0\) zur singulären Linie hat. Verf. untersucht, ob diese Lösung auch eine Darstellung (1) bis (3) gestattet, und zeigt, daß (4) nur in die beiden Formen (2), (3) (nicht in (1)) gebracht werden kann, die dann für \(x > 0\) bzw. \(y > 0\) gültig sind.