Aufgabe 41. (Gestellt in Jahresbericht D. M. V. 35, 49 kursiv.) Lösung von H. Kneser. (Q1451095)

Die Aufgabe lautet: ``Sei \(C\) eine einfach geschlossene Kurve in der \((x, y)\)-Ebene, \(\varGamma\) eine ebensolche Kurve in der \((\xi, \eta)\)-Ebene. Es seien ferner \(u(x,y)\), \(v(x,y)\) zwei harmonische Funktionen, die in und auf \(C\) stetig, innerhalb \(C\) regulär sind. Es sei ferner bekannt, daß durch die Formeln \[ \xi = u(x,y),\quad \eta= v(x,y) \] eine umkehrbar eindeutige Abbildung der Linie \(C\) auf die Linie \(F\) dargestellt wird. Wenn überdies \(u(x,y)\) und \(v(x,y)\) konjugiert sind, d. h. wenn \[ u(x,y)+iv(x,y) \] eine analytische Funktion des komplexen Argumentes \(z=x + iy\) ist, so besagt ein bekannter Satz aus der Theorie der konformen Abbildung, daß die Formeln \[ \xi= u(x,y),\quad \eta= v(x,y) \] eine umkehrbar eindeutige Abbildung des Innern von \(C\) auf das Innere von \(\varGamma\) darstellen. Man beweise nun den folgenden Satz: Wenn die Bildkurve \(\varGamma\) konvex ist, so bleibt der Abbildungssatz auch dann richtig, wenn \(u(x,y)\), \(v(x,y)\) nicht konjugiert sind.''