On the connection of different methods of solution of the wave equation in multi-dimensional spaces. (Q1451106)

Es handelt sich um die Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2s}{\partial t^2}-\sum_{h=1}^n \frac{\partial^2s}{\partial x_h^2} =k(t,x_1, \ldots,x_n). \] Sie wurde in typischer Form von \textit{Herglotz}, \textit{Riemann-Hadamard} und \textit{Fourier-Poisson} behandelt (vgl. \textit{Herglotz}, Nachrichten Göttingen 1904, 549-556 (F. d. M. 35, 866 (JFM 35.0866.*)); \textit{Riemann}, Partielle Differentialgleichungen (1869; F. d. M. 2, 175 (JFM 02.0175.*)-177), \S 106; \textit{Hadamard}, Acta Math. 31 (1908), 333-380 (F. d. M. 39, 425 (JFM 39.0425.*)); Lectures on Cauchy's Problem in linear partial differential equations (1923; F. d. M. 49, 725 (JFM 49.0725.*)), p. 133; Annales Ecole norm. (3) 21 (1904), 535-566; (3) 22 (1905), 101-141; Journ. de Phys. (4) 6 (1906), 202-241 (F. d. M. 35, 352 (JFM 35.0352.*); 36, 412; 38, 787); \textit{H. Burkhardt}, Entwicklung nach oszillierenden Funktionen (1901-1908; F. d. M. 36, 56 (JFM 36.0056.*)-59; 39, 62-63), S. 606). Die \textit{Herglotz}sche Methode verwendet die Substitution \(t=iw\), wodurch man auf die Poissonsche Gleichung in \(n + 1\) Dimensionen geführt wird. Für die Auswertung des lösenden Integrals auf komplexem Wege sind die Fälle gerader bzw. ungerader Dimension zu trennen. Die Verf. bringen diese Ergebnisse mit der ``Methode de la descente'' von \textit{Hadamard} in Verbindung, gemäß welcher der Übergang vom gelösten \(n\)-dimensionalen zum \((n-1)\)-dimensionalen Problem gegeben wird. Aus beiden Methoden lassen sich überdies die Lösungsdarstellungen der sogenannten ``Polarisationsmethode'' (vgl. \textit{J. Goulon}, Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre par la méthode des caractéristiques, Thése (1902; F. d. M. 33, 360 (JFM 33.0360.*))) gewinnen. Schließlich wird noch auf die Identität der \textit{Fourier-Poisson}schen Lösung mit der \textit{Herglotz}schen verwiesen.