Invarianten bei der Variation der Integrale, deren Integranden höhere Ableitungen enthalten. (Q1451115)

Nach der Untersuchung der Invarianten, welche der Variation \(n\)-facher parameterinvarianter Integrale, deren Integranden außer den unbekannten Funktionen nur deren erste Ableitungen enthalten, entspringen, in zwei vorhergehenden Arbeiten (vgl F. d. M. 51; 276, 277), untersucht Verf. nunmehr mit gleicher Zielsetzung einfache Integrale, welche die Ableitungen der Unbekannten bis zur beliebigen Ordnung \(q\) enthalten, und vielfache Integrale, welche Ableitungen der Unbekannten bis einschließlich zweiter Ordnung enthalten. Aus dem parameterinvarianten Integral \[ I = \int F(x_i, \mathfrak d x_i, \dots, \mathfrak d^q x_i) \, du \quad \left(\mathfrak d^r x_i = \frac{d^r x_i}{du^r}; \, i = 1, 2, \dots, q\right) \] ergibt sich die absolute Punkt- und Parameterinvariante bzw. Integralinvariante \[ H = \frac{W}{(|F^{2q+1} F_1|)^{\tfrac 12}}, \quad K = \iint G\, dx_1 \, dx_2, \quad G = (|F^{2q+1} F_1|)^{\tfrac 12}. \] Dabei sind die Bezeichnungen \(W\) und \(F_1\) durch die Beziehungen \[ \varDelta_1 = \mathfrak d x_2, \quad \varDelta_2 = -\mathfrak d x_1, \] \[ W_i = \sum_{r=0}^q (-1)^r \frac{d^r}{du^r} \, \frac{\partial F}{\partial \mathfrak d^r x_i}, \quad W_i = W\varDelta_i, \quad \frac{\partial^2 F}{\partial \mathfrak d^q x_i \, \partial \mathfrak d^q x_k} = F_1 \varDelta_i \varDelta_k \] erklärt. Die Punktinvarianz von \(WF_1^{-\tfrac 12}\) erkannte bereits \textit{Th. de Donder}. Die Invariante \(H\) ist eine Verallgemeinerung der von \textit{G. Landsberg} eingeführten ``extremalen Krümmung'' (\(q = 1\)). Die Integralinvariante \(K\) verallgemeinert den von \textit{Funk} und \textit{Berwald} eingeführten ``allgemein metrischen'' \ ``Flächeninhalt'' (\(q = 1\)). Analog entspringen dem \(n\)-fachen parameterinvarianten Integral \[ I = \int\limits^{(n)} \dots \int F(x_i, x_{i\alpha}, x_{i\alpha\beta}) \, du_1 du_2, \dots, du_n = \int\limits^{(n)} F \, du \] unter Benutzung gewisser zuerst von \textit{Vivanti} aufgestellter Identitäten die absoluten Punkt- und Parameterinvarianten bzw. Integralinvarianten \[ H = \frac{W \varDelta}{(|F^{\tfrac{(n+1)(n+4)}{2}} \varPhi|)^{\tfrac{1}{n(n+1)}}}, \quad K = \int\limits^{(n+1)} G \, dx, \quad G = \frac{(|F^{\tfrac{(n+1)(n+4)}{2}} \varPhi|)^{\tfrac{1}{n(n+1)}}}{\varDelta}. \] Die Zeichen \(W\), \(\varDelta\), \(\varPhi\) haben dabei folgende Bedeutung: \[ W_i = W\varDelta_i, \quad \varDelta = +(\sum_i \varDelta_i^2)^{\tfrac 12}, \quad \varDelta_i = (-1)^{i+1} \frac{\partial(x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_{n+1})}{\partial(u_1, u_2, \dots, u_n)}, \] \[ \varPhi = \text{det.} F_{\alpha\beta, \gamma\theta}, \quad F_{\alpha\beta, \gamma\theta} = \sum_i \frac{\partial^2 F}{\partial x_{i, \alpha\beta} \, \partial x_{i, \gamma\theta}}. \] Seine Ergebnisse illustriert Verf. durch zahlreiche interessante Beispiele. Solche liefern für \(n = 1\), \(q = 2\) die Affinbogenlänge ebener Kurven oder die Aufgabe, eine (ebene) Kurve zu finden, die mit ihrer Evolute und ihren in den Endpunkten gezogenen Normalen eine möglichst kleine Fläche einschließt, für \(n = 1\), \(q = 3\) die einfachsten Integralinvarianten der ebenen Inversions- und \textit{Laguerre}geometrie, für \(n = 2\), \(q = 2\) die Affinoberfläche. Erwähnt sei noch, daß der Integrand \(G\) der auftretenden Integralinvarianten von den Größen \(x_{i\alpha_1}\), \(x_{i\alpha_1\alpha_2}\), \dots im allgemeinen in der Weise abhängt, daß letztere aus dem Ansatz \(x_i = \omega_i(u_1, u_2, \dots, u_n, a)\) zu berechnen sind, welcher eine einfach unendliche Schar \(n\)-stufiger Räume \(X_n\) derart bestimmt, daß durch jeden Punkt des Gebietes \(X_{n+1}\) der Integration \(\int\limits^{(n+1)} G \, dx\) genau eine \(X_n\) hindurchgeht. Fälle, wo der Integralwert von der besonderen Wahl der \(X_n\)-Schar unabhängig ist, werden von besonderem Interesse.