Über Minimaleigenschaften der Kugel in drei und mehr Dimensionen. (Q1451130)

Mit Hilfe einer aus \textit{Schwarz}schen, \textit{Tonelli}schen und eigenen Gedanken gemischten Methode wird auf nicht ganz einfache Weise das isoperimetrische Problem für den Raum gelöst und dann auf den \(n\)-dimensionalen Raum übertragen. Mit Hilfe des gefundenen Satzes wird sodann gezeigt, daß das Gebiet, für welches der erste Eigenwert der Differentialgleichung \(\varDelta u + \lambda u = 0\) bei der Randbedingung \(u = 0\) den kleinsten Wert annimmt, wenn zum Vergleich nur inhaltsgleiche \(n\)-dimensionale Gebiete zugelassen werden, die \(n\)-dimensionale Kugel ist. Den kleinsten zweiten Eigenwert erhält man, wenn das ganze Gebiet aus zwei inhaltsgleichen Sphären besteht.